CF【1700D】D. River Locks（dp、二分、数学）

TP

借鉴博客

完善了下细节.

题意：

• 一个大水库由 n 个体积为 $vi$ 升的水箱构成，每个水箱都有一个水口，开启后每秒加一升水。如果当前水箱 i 满了，多余的水会超自然地留到 i + 1 的水箱中，直到最后留到大海。
• q 次询问，每次给一个时间 $tj$ ，问在给定时间内填满 n 个水箱最少要开启的水口数为多少，如果不能填满输出 -1.

思路：

• 显然第一步贪心，如果要开 x 个水口就开在 [1,x] ，在前面开，水溢出后可以补给后面水箱，填满的时间更短。
• 第二步比较容易走偏。其实二分都会想到，但不知道怎么下手。这里应该先推导一个公式：
• 假设已知水库总量 S，给定限定时间为 T；在这个时间限制内，要开的最少水口数其实已经确定了！，开启水口数 $cnt>=S/T$ （上取整），满足最小所以取等于；
• cnt 确定了，之前贪心也知道是开在前 cnt 个，剩下需要确定的就是 填好前 i 个水箱的最小时间。
• 所以第三步，设置 dp 状态，转移，加上二分优化，这题就解决了。1900的含金量

剩下看注释

$Code:$

#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define cinios (ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0))
#define forr(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define sz(a) (int)a.size()
#define oper(a) operator<(const a& ee)const
#define endl '\n'
#define ul (u << 1)
#define ur (u << 1 | 1)
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 2e5 + 10, M = 2e5 + 10, mod = 1e8;
int INF = 0x3f3f3f3f; ll LNF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n, m, k;
//很明显的贪心，水口尽可能在前开启
int v[N], dp[N];//开启前 i 个水口，同时填满前 i 个水箱的最早时间
ll sum[N];//水量前缀和

void work() {
    
    dp[1] = v[1], sum[1] = v[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
        sum[i] = sum[i - 1] + v[i];

        //dp[i] 最早的时间也至少是 dp[i-1]，前面填好了才能覆盖后面
        int l = dp[i - 1], r = 1e9;
        while (l < r)
        {
    
            int mid = l + r >> 1;
            //mid是时间，i 是水口数
            if (1ll * mid * i < sum[i])l = mid + 1;
            else r = mid;
        }
        dp[i] = l;
    }
}

void solve() {
    
    cin >> n;
    forr(i, 1, n)cin >> v[i];
    work();

    //明明我们要求的是限定时间内灌满整个水库的最少水口数，为什么dp维护的是这个呢？

    //因为已知水库总量 S，给定限定时间 T；
    //开启水口数 cnt >= S/T （上取整），满足最小所以取等于；
    // 
    // 意为：满足这个开启数后，水库一定能填满，但时间不知，
    // 因为单个 vi 的限制。
    // 
    //知道要开启的水口数后，我们可以直接代入到 dp 中找到最早时间，比较即可

    cin >> m;
    while (m--)
    {
    
        int tim; cin >> tim;
        ll g = (sum[n] + tim - 1) / tim;

        if (g <= n && dp[g] <= tim)cout << g << endl;
        else cout << -1 << endl;
    }
}

int main() {
    
    cinios;
    int T = 1;
    for (int t = 1; t <= T; t++)
        solve();
    return 0;
}
/* */