Pymoo学习 (4)： 多标准决策

1 多标准决策

  在获取一组非支配解后，可以由决策者决定保留一些甚至是单个的解。这个针对多目标问题的决策过程也称为多标准决策 (Multi-criteria decision making, MCDM)。尽管Pymoo的主要精力放在优化上，其也依然提供了一些初级工具来找到一个合适的解。
  一个双目标优化的示意可以从https://inkiyinji.blog.csdn.net//article/details/125914306中找到，其给出了Pareto最优解的示意：

  需要注意不同目标的值的尺度可能差距很大，需要对其进行标准处理。如果没有标准化，横坐标所对应的优化目标将目标搜索空间中的任何距离计算，因为它的规模更大。处理不同尺度的目标是任何多目标算法的固有部分，而一种常见的标准化方法是使用所谓的理想和最低点。
  出于决策和概括目的，我们假设理想和最低点 (也称为边界点) 和Pareto前沿) 是未知的。因此，这些点可以近似为：

  相应代码为：

import matplotlib.pyplot as plt

# 理想点和最低点
approx_ideal = F.min(axis=0)
approx_nadir = F.max(axis=0)

plt.figure(figsize=(7, 5))
plt.tight_layout()
plt.scatter(F[:, 0], F[:, 1], s=30, facecolors='none', edgecolors='blue')
plt.scatter(approx_ideal[0], approx_ideal[1], facecolors='none', edgecolors='red', marker="*", s=100, label="Ideal Point (Approx)")
plt.scatter(approx_nadir[0], approx_nadir[1], facecolors='none', edgecolors='black', marker="p", s=100, label="Nadir Point (Approx)")
plt.title("Search Space")
plt.legend()
plt.show()

  基于理想和最低点，可以获取缩放后的Pareto最优解：

  代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt

# 理想点和最低点
approx_ideal = F.min(axis=0)
approx_nadir = F.max(axis=0)

nF = (F - approx_ideal) / (approx_nadir - approx_ideal)

fl = nF.min(axis=0)
fu = nF.max(axis=0)
print(f"Scale f1: [{
      fl[0]}, {
      fu[0]}]")
print(f"Scale f2: [{
      fl[1]}, {
      fu[1]}]")

plt.figure(figsize=(7, 5))
plt.scatter(nF[:, 0], nF[:, 1], s=30, facecolors='none', edgecolors='blue')
plt.title("Objective Space")
plt.show()

2 Compromise编程

  另一种决策方法是使用分解函数，其需要定义反映用户意愿的权重向量。向量中的权重值只能是正浮点数，和为1，向量长度等于目标数。
  对于当前的双目标优化，假设权重为：

weights = np.array([0.2, 0.8])

  导入分解函数：

from pymoo.decomposition.asf import ASF

decomp = ASF()

  当前使用的分解函数是ASF，其应当被最小化，所以选择从所有解决方案中计算出的最小ASF值：

i = decomp.do(nF, 1/weights).argmin()

  此时的权重为1/weights。对于ASF，存在数值除法和数值相乘两种方式。在pymoo中，我们进行不体现用户标准的思想的划分。因此，需要应用逆运算，这将在后续介绍，目前需要知道关于分解函数的决策是至关重要的。
  此时，我们可以在原始尺度上表示找到的最优解：

  代码如下：

plt.figure(figsize=(7, 5))
plt.scatter(F[:, 0], F[:, 1], s=30, facecolors='none', edgecolors='blue')
plt.scatter(F[i, 0], F[i, 1], marker="x", color="red", s=200)
plt.title("Objective Space")
plt.show()

3 伪权重

  伪权重同样用于找到一个更优的解，第$i$个目标的伪权重给定为：
$$w_i=\frac{(f_i^{max}-f_i(x))/(f_i^{max}-f_i^{min})}{{\sum }_{m=1}^M(f_m^{max}-f_m(x))/(f_m^{max}-f_m^{min})}$$该方程计算关于每个目标$i$的最差解的归一化距离。对于非凸Pareto前沿，伪权重不对应于使用加权和进行优化的结果。而对于凸Pareto前沿，伪权重表示目标空间中的位置：

  代码如下：

from pymoo.mcdm.pseudo_weights import PseudoWeights

i = PseudoWeights(weights).do(nF)

plt.figure(figsize=(7, 5))
plt.scatter(F[:, 0], F[:, 1], s=30, facecolors='none', edgecolors='blue')
plt.scatter(F[i, 0], F[i, 1], marker="x", color="red", s=200)
plt.title("Objective Space")
plt.show()

参考文献

【1】https://pymoo.org/getting_started/part_3.html