20220621 Dual Quaternion

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对偶数

一、对偶数是什么？

https://zhuanlan.zhihu.com/p/358146509

对偶数是一种特殊的自洽的运算，类似于常用的复数基本单位 $i$ （$i^2=-1$），这里数学家们对对偶数基本单位的定义是 $ϵ$ （${ϵ}^2=0$ 且 $ϵ\ne 0$）。

类似于复数的定义 $a+ib$，对偶数的定义为 $a+ϵb$。

基于上述定义，定义两个对偶数 $d_1=a_1+ϵb_1$ 和 $d_2=a_2+ϵb_2$ ，按照一般的运算法则可以得到对偶数的运算：
$$\begin{array}{rl}k{d}_1& =(k{a}_1)+ϵ(k{b}_1)\\ d_1+d_2& =(a_1+a_2)+ϵ(b_1+b_2)\\ d_1{d}_2& =a_1{a}_2+ϵ(a_1{b}_2+a_2{b}_1)+{ϵ}^2{b}_1{b}_2=a_1{a}_2+ϵ(a_1{b}_2+a_2{b}_1)\\ d_1^{\ast }& =a_1-ϵb_1\\ |d_1|& =\sqrt{d_1{d}_1^{\ast }}=|a_1|\\ d_1^{-1}& =\frac{1}{a_1+ϵb_1}=\frac{a_1-ϵb_1}{a_1^2}=\frac{1}{a_1}-ϵ\frac{b_1}{a_1^2}\text{if}{a}_1\ne 0\\ \frac{d_2}{d_1}& =\frac{a_2+ϵb_2}{a_1+ϵb_1}=\frac{(a_2+ϵb_2)(a_1-ϵb_1)}{(a_1+ϵb_1)(a_1-ϵb_1)}=\frac{a_1{a}_2+ϵ(a_1{b}_2-a_2{b}_1)}{a_1^2}=\frac{a_2}{a_1}+ϵ(\frac{b_2}{a_1}-\frac{a_2{b}_1}{a_1^2})\text{if}{a}_1\ne 0\end{array}$$

对偶数最大的好处是泰勒展开，后面多余的项直接消失，即
$$f(a+ϵb)=f(a)+ϵb{f}^{\prime }(a)+{ϵ}^2(\dots )=f(a)+ϵb{f}^{\prime }(a)$$因此，进一步可以得到$$\begin{array}{rl}{e}^{a+ϵb}& =e^a+ϵb{e}^a\\ \ln (a+ϵb)& =\ln (a)+ϵb\frac{1}{a}\text{if}a\ne 0\\ \sin (a+ϵb)& =\sin (a)+ϵb\cos (a)\\ \cos (a+ϵb)& =\cos (a)-ϵb\sin (a)\end{array}$$

进一步，可以发现$$f^{\prime }(a)=\frac{f(a+ϵb)-f(a)}{ϵb}$$注意这里是直接线性化，而不是近似线性化，这个可以用来计算导数。

二、对偶矢量

翟洪民. 基于对偶四元数的航天器近距离接近位姿同步规划与控制. 哈尔滨工业大学, 2021

对偶矢量 $\mathbf{d}=\mathbf{a}+ϵ\mathbf{b}$ ，$\mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^n$，又有
$$\mathbf{d}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]+ϵ\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1+ϵb_1\\ a_2+ϵb_n\\ ⋮\\ a_n+ϵb_n\end{array}\right]$$也就是说，它可以既被看作实数部分、对偶部分均都矢量构成的对偶数，同时又被看作以对偶数作为元素的矢量。

空间中任意一条直线可用单位对偶矢量来描述。如下图所示，直线 $\mathbf{R}$ 可以表示为 $\mathbf{l}+ϵ\mathbf{m}$，$\mathbf{l}$ 显示直线的平行方向，$\mathbf{m}$ 显示直线与原点的垂直距离。这里的单位对偶向量通常被称为普吕克（Plücker）直线。

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三、对偶四元素

对偶四元数可以看作是元素为对偶数的四元数，也可以看作是元素为四元数的对偶数，即
$$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{q}}& =[\hat{\eta },\hat{\mathbf{\xi }}]=\mathbf{q}+ϵ{\mathbf{q}}^{\prime }\\ & =\eta +{\xi }_1\mathbf{i}+{\xi }_2\mathbf{j}+{\xi }_3\mathbf{k}+ϵ\left({\eta }^{\prime }+{\xi }_1^{\prime }\mathbf{i}+{\xi }_2^{\prime }\mathbf{j}+{\xi }_3^{\prime }\mathbf{k}\right)\end{array}$$

这里的共轭和上面的有些区别，是因为我们将其视为元素为对偶数的四元数。为什么不把它当作元素为四元数的对偶数进行求共轭，具体原因见https://blog.csdn.net/weixin_44382195/article/details/125400408?spm=1001.2014.3001.5501。
$${\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }={\mathbf{q}}^{\ast }+ϵ{\mathbf{q}}^{\prime \ast }$$

二、使用步骤

1.引入库

代码如下（示例）：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
import  ssl
ssl._create_default_https_context = ssl._create_unverified_context

2.读入数据

代码如下（示例）：

data = pd.read_csv(
    'https://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/1283/adult.data.csv')
print(data.head())

该处使用的url网络请求的数据。

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总结

提示：这里对文章进行总结：
例如：以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了pandas的使用，而pandas提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。