离散分布常用公式及应用场景

离散分布常用公式

	几何分布	二项分布	泊松分布
应用场景	一系列独立试验 每次试验的成功概率相同 感兴趣的是经过r次试验第一次成功的概率	一系列独立试验 每次试验的成功概率相同 感兴趣的是经过n次试验成功r次的概率	单独事件在给定区间内随机、独立地发生，给定区间可以是时间或空间，例如1个星期或者1公里 已知区间内事件平均发生次数 感兴趣的是下一个同样大小区间内发生相同事件的概率
表达式	$X\backsim Geo(p)$ X代表第一次成功需要的试验次数 p代表单次试验成功的概率	$X\backsim B(n,p)$ X代表n次试验中成功的次数 n代表试验的次数 p代表单词试验成功的概率	$X\backsim Po(\lambda )$ X代表给定区间内的事件发生的次数 $\lambda$代表每个区间内平均发生的次数
概率分布	$P(X=r)=p{q}^{r-1}$	$P(X=r)={}^n{C}_r{p}^r{q}^{n-r}$	$P(X=r)=\frac{e^{-r}{\lambda }^r}{r!}$
期望和方差	$E(X)=\frac{1}{p}$ $Var(X)=\frac{q}{p^2}$	$E(X)=np$ $Var(X)=npq$	$E(X)=\lambda$ $Var(X)=\lambda$
正态近似		当np>5 且nq>5 时， $X\backsim N(np,npq)$ 注意引入连续修正$\pm 0.5$	当$\lambda$>15时，$X\backsim N(\lambda ,\lambda )$
泊松近似		当n很大，p很小时，$X\backsim Po(np)$

样本占比公式：

$$P_s\backsim N(p,\frac{pq}{n})$$

样本均值公式（中心极限定理）：

$$\underline{X}\backsim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

几何分布

• 一系列独立试验
• 单词试验成功概率相同
• 焦点：进行了r次试验第一次成功的概率

$$\begin{gathered} P(X=r)=p{q}^{r-1} \\ P(X>r)=q^r \\ P(X\le r)=1-q^r \\ E(X)=\frac{1}{p} \\ Var(X)=\frac{q}{p^2} \end{gathered}$$

二项分布

• 一系列独立试验
• 单词试验成功概率相同
• 试验次数有限
• 焦点：成功r次的概率

$$\begin{gathered} P(X=r)={}^n{C}_r{p}^r{q}^{n-r} \\ C=\frac{n!}{r!(n-r)!} \\ E(X)=np \\ Var(X)=npq \end{gathered}$$

泊松分布

• 单独事件在给定时间或空间区域内
• 已知该区域内事件平均发生的次数
• 焦点：给定区间内时间发生的次数

$$\begin{gathered} P(X=r)=\frac{e^{-r}{\lambda }^r}{r!} \\ E(X)=\lambda \\ Var(X)=\lambda \end{gathered}$$

泊松分布和二项分布的关系：

如果$X\backsim B(n,p),$当n较大而p较小时，X可以近似标识为$X\backsim Po(np)$

何时用正态分布近似代替泊松分布

当$\lambda$很大，如果$X\backsim Po(\lambda )且\lambda >15$，我们就能用$X\backsim N(\lambda ,\lambda )近似计算X\backsim Po(\lambda )$

何时用正态分布近似代替二项分布

当np, nq 都>5时，可以用$X\backsim N(np,npq)$代替二项分布计算

参考《深入浅出统计学》