概率论基础 - 5 - 马尔可夫不等式

马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量的累积分布函数一个宽泛但仍有用的界。

定义

马尔可夫不等式用于估计尾事件的概率上界。

• 若随机变量X只取非负值，则\forall a>0

\mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a}

证明

思路1

放大概率，得到部分函数期望 截断函数期望，二者相比较

• 考虑 X\ge a的情况 → \frac {X}{a} \ge 1
• 对于不等式左边有：

\mathbb P(X \geq a)=\int_{a}^{+\infty} f(x) d x \leq \int_{a}^{+\infty} \frac{X}{a} f(x) d x

• 对于不等式右边有：

E\left(\frac{X}{a}\right)=\int_{-\infty}^{a} \frac{X}{a} f(x) d x+\int_{a}^{+\infty} \frac{X}{a} f(x) d x

• 由于：

\int_{-\infty}^{a} \frac{X}{a} f(x) d x \geq 0

• 因此：

\mathbb P(X \geq a) \leq \int_{a}^{+\infty} \frac{X}{a} f(x) d x \leq E\left(\frac{X}{a}\right)

• 即：

\mathbb P(X \geq a) \leq E\left(\frac{X}{a}\right)=\frac{E(X)}{a}

思路2

原始期望大于截断部分非负值的期望 求取期望时缩小X得到a

图示

a越大于均值，X>a

用途

• 将概率与期望联系起来建立了不等式关系
• 约束较松，可以用来粗略估计尾部事件

例如： 如果X是工资，那么E(X)就是平均工资，假设a=n E(X)，即平均工资的n倍。那么根据马尔可夫不等式，不超过1/n的人会有超过平均工资的n倍的工资。

参考资料

• https://baike.baidu.com/item/马尔可夫不等式/7565874?fr=aladdin
• https://www.zhihu.com/question/27821324
• https://blog.csdn.net/ukakasu/article/details/82688413