概率论基础 - 15 - 伽马分布

本文记录伽马分布。

整数次数的伽马分布

若事件服从泊松分布，泊松分布参数为\lambda，则事件第i 次发生和第i+k 次发生的时间间隔t的分布为伽玛分布。

概率密度函数

p(t ; \lambda, k)=\frac{t^{(k-1)} \lambda^{k} e^{(-\lambda t)}}{\Gamma(k)}

其中 t 为时间间隔。

期望

\mathbb{E}[t]=\frac{k}{\lambda}

方差

\operatorname{Var}[t]=\frac{k}{\lambda^{2}}

上面的定义中 k 必须是整数。

更一般的伽马分布

• 事实上，若随机变量 X 服从伽马分布，则其概率密度函数为：

p(X ; \alpha, \beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} X^{\alpha-1} e^{-\beta X}, \quad X>0

期望

\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha}{\beta}

方差

\operatorname{Var}[X]=\frac{\alpha}{\beta^{2}}

当 \alpha \leq 1 时, p(X ; \alpha, \beta) 为递减函数。 当 \alpha>1 p(X ; \alpha, \beta) 为单峰函数。

整数次数伽马分布的理解

• 已知Gamma分布的密度函数为:

f(x, \alpha, \lambda)=\frac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)}, x>0

• 则其在时间 (t,+\infty) 上的积分为

• 即有：

• 令 \alpha 为 n, \quad n=0,1,2, \cdots , 有

\int_{t}^{+\infty} f(x, n, \lambda) \cdot d x=\int_{t}^{+\infty} f(x, n-1, \lambda) \cdot d x+\frac{(\lambda t)^{n-1} \cdot e^{-\lambda t}}{(n-1) !}

• 叠加求和, 得:

\int_{t}^{+\infty} f(x, n, \lambda) \cdot d x=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^{k} \cdot e^{-\lambda t}}{k !}

Gamma分布上述积分形式即可理解为: 第 n 个事件恰好发生在时间 (t,+\infty) 的概率, 相当于 在时间 (0, t) 内发生恰好发生 0,1,2, \cdots, n-1 个事件的概率总和。

也可以反过来说，伽马分布是n个独立的指数分布随机变量的和。

伽马函数

伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成 \Gamma(x) 。 在x取值为正整数时与阶乘是统一的。

• 在实数域上伽玛函数定义为:

\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t(x>0)

• 在复数域上伽玛函数定义为:

\Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \mathrm{~d} t

其中 \operatorname{Re}(z)>0

• 除了以上定义之外，伽马函数公式还有另外一个写法:

\Gamma(x)=2 \int_{0}^{+\infty} t^{2 x-1} e{-t{2}} \mathrm{~d} t

我们都知道 \int_{0}^{+\infty} e{-t{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\sqrt{\pi}}{2} 是一个常用积分结果 上述公式可以用 \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2 \int_{0}^{\perp \infty} e{-t{2}} \mathrm{~d} t=\sqrt{\pi} 来验证

• 伽马函数还可以定义为无穷乘积:

参考资料

• http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html
• https://www.zhihu.com/question/34866983
• https://www.jianshu.com/p/6ee90ba47b4a
• https://baike.baidu.com/item/伽玛函数/3540177?fromtitle=伽马函数&fromid=11217190&fr=aladdin