统计学之样本和总体的关系： 样本成功比例+中心极限定理（样本均值）

如何计算样本中成功占比的概率？

到底算的是什么？

概括的说，即，已知总体中成功元素占比及样本大小，推算出样本达到某指定成功占比的概率

分解概念1： 什么叫总体中成功元素占比？

举例说明：

1. 假设总体为1000糖球，其中红色糖球的占比30%，此处30%为成功元素占比
2. 假设总体为1000道题目，其中答对题目的占比为25%， 此处25%为成功元素占比。

分解概念2： 什么是样本大小呢？

比如1000粒糖球中取100粒样本，100粒糖球就是这个样本的大小。

分解概念3： 推算出样本达到某指定成功占比的概率，这句话是什么意思呢？

• 比如我们要求推算100粒糖球中（总体1000粒）红色糖球占比20%的概率。其中，20%为指定样本成功占比。100为样本大小。
• 再例如，我们要求推算200道题目中（总体1000道题）答对50%的概率。其中，50%为指定样本成功占比，200为样本大小。

思路与计算公式

1. 关于这类模式的计算我们需要从题目中提炼下面三个要素：

• n - 已知样本数目
• p - 已知总体成功暂避
• x - 指定样本成功占比
• 求样本中某个成功占比的概率 $P_s$

2. 根据以上信息，计算样本均值和方差：
   均值：$E(P_s)=p$
   方差：$Var(P_s)=\frac{pq}{n}（q=1-p)$

3. 确定$P_s$的分布
   当n很大时（所谓很大，即n>30), $P_s$近似如下正态分布：
   $P_s\backsim N(p,\frac{pq}{n})$

4. 计算正态分布
   不要忘记连续修正=$\pm \frac{1}{2n}$, 什么时候用连续修正呢？
   当总体是二项式分布的时候，且用正态分布来模拟二项式分布的计算的时候，需要连续修正。原因是，二项式分布是离散分布，正态分布是连续分布。连续修正就是为了弥补离散分布转连续分布的误差。
   $x^{\prime }=x\pm \frac{1}{2n}$
   $z=\frac{x^{\prime }-\mu }{\sigma }$

应用实例：

总体中有25%红色糖球，取样本100粒糖球，求样本中出现$\ge$ 40%红色糖球的概率
从上面的信息我们能得知如下信息：

• p = 25% 红球占比
• n = 100 ， 样本大小
• q = 1-p = 75%， 非红球占比
• x = 40% ， 指定样本中红球占比
• 修正值=-$\frac{1}{2n}=-0.005$
  当求概率>=40%,我们使用负修正值

根据上面的信息，计算标准分，然后查询正态分布表，即可得出样本中红球比例达到40%以上的概率。此处省略具体计算。

如何计算样本均值的概率？

说明

已知总体均值、方差及样本大小，推算样本中的均值达到某一数值的概率

思路与计算公式

1. 计算样本的均值和方差：
   假设总体的均值为$\mu$, 方差为${\sigma }^2$, 那么样本的均值和方差分别为：
   $$\begin{gathered} E(\overline{x})=\mu \\ Var(\overline{x})=\frac{{\sigma }^2}{n} \end{gathered}$$

2. 分析样本的分布形态
   如果从一个非正态分布的总体X中取出一个样本，且样本很大，则$\overline{X}$ 的分布近似为正态分布。

3. 使用中心极限定理：
   $$\underline{X}\backsim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

应用实例

每袋糖球的均值为10， 方差为1，抽取30袋糖球，样本均值小于等于8.5的概率是多少？

这道题是求样本均值<8.5的概率?

应用中心极限定理

$$\begin{gathered} \overline{X}\backsim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}) \\ \mu =10,{\sigma }^2=1 \\ \overline{X}\backsim N(10,0.0333) \end{gathered}$$

计算标准值

$P(\overline{x}<8.5)$ 的数值是多少呢？通过计算标准分及查询正态分布表得出结果。
$z=\frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{8.5-10}{\sqrt{0.0333}}=-8.22$
$P(Z<z)=P(Z<-8.22)$

总结

已知总体成功率，求样本成功率等于某特定值得概率
已知总体均值，求样本均值等于某特定的概率