浅谈二叉树

目录

 

1.树型结构

 1.1 定义

1.2 树的表示形式

1.3 树的应用

2.二叉树定理

2.1 概念

2.2 两种特殊的二叉树

2.2 二叉树的性质

2.3 二叉树的存储

2.6 二叉树的遍历

2.7 层序遍历

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1.树型结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

     1）   有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点

     2）   除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一                个集 合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个驱，                 可以有 0个或多个后继

    3）    树是递归定义的。

         

 1.1 定义

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.2 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
 int value; // 树中存储的数据
 Node firstChild; // 第一个孩子引用
 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.3 树的应用

多用于文件系统管理：目录和文件

2.二叉树定理

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都有以下情况复合而成

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果 一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一 一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.2 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层（深度）上最多有2^i - 1 (i>0)个结点.

2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k - 1 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k 为上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.3 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
 int val; // 数据域
 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
 int val; // 数据域
 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
 Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.6 二叉树的遍历

遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作 依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——根结点--->根的左子树--->根的右子树。

2. 中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。

3. 后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

 第一颗二叉树

 

第二课二叉树 

 

在前、中、后遍历中，使用递归方法都是要打印根。

 1）前序遍历

解法一

  void preOrder(BTNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

 解法二：非递归法

void preorderNor(TreeNode root) {
        List<Integer> ret = new ArrayList<>();
        Stack<TreeNode> stack = new Stack();
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null || stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                //进栈
            stack.push(cur);
            //将栈元素进顺序表
            ret.add(cur.val);
            cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur = top.right;
        }
        return ret;
     }

 2）中序遍历

解法一

void inOrder(BTNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }

解法二：非递归法

void inorderNor(TreeNode root) {
        List<Integer> ret = new ArrayList<>();
        Stack<TreeNode> stack = new Stack();
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null || stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                //进栈
            stack.push(cur);
            
            cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            //将栈顶元素进顺序表
            ret.add(top.val);
            cur = top.right;
        }
        return ret;
     }

3）后序遍历

解法一

 //后序遍历
    void postOrder(BTNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

 解法二 ：非递归法

void inorderNor(TreeNode root) {
        List<Integer> ret = new ArrayList<>();
        Stack<TreeNode> stack = new Stack();
        TreeNode cur = root;

        TreeNode prev = null;
        while (cur != null || stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                //进栈
            stack.push(cur);
            
            cur = cur.left;
            }
            //读取栈顶元素
            TreeNode top = stack.peek();
            if () {
                stack.pop();
                
                ret.add(top.val);
                prev = top;
            }else {
                  cur = top.right;
            }          
        }
        return ret;
     }

注意：

知道先序遍历和 中序遍历，找后序遍历：

先从先序遍历最前面拿到根，然后拿着根在中序遍历的序列中找到此根，根的左边是左子树，根的右边是右子树。依次循环。

知道后序遍历和 中序遍历，找后序遍历：

先从后序遍历最后面拿到根，然后拿着根在中序遍历的序列中找到此根，根的左边是左子树，根的右边是右子树。依次循环。

2.7 层序遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从 左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是 层序遍历。

  public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {
    	List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
    	if (root == null) return ret;

    	Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    	queue.offer(root);
    	while (!queue.isEmpty) {
    		int size = queue.size();//当前层有多少个节点
    		List<Integer> lst = new ArrayList<>();

    		while (size != 0) {
    			TreeNode cur = queue.poll();
    			list.add(cur.val);
    			if (cur.left != null) {
                    queue.offer(cur.left);
                }
                if (cur.right != null) {
                    queue.offer(cur.right);
                }
                size--;
    		}
    		 ret.add(list);
    	}
    	 return ret;
    }