【MATLAB】（四）MATLAB在线性代数中的应用

前期教程

• 【MATLAB】（一）基本使用入门
• 【MATLAB】（二）基本使用拾遗
• 【MATLAB】（三）MATLAB在高等数学中的应用

概述

  本篇博客主要用于记录MATLAB在线性代数中的应用。

一、矩阵

1 矩阵的创建

a. 直接创建

x1 = [1 2 3 4];
x2 = [5,6,7,8];  //创建行向量，空格或逗号进行分隔列

x3 = [2;3;1;4];  //创建列向量，用分号分隔行
x3 = [2 3 1 4]';  //转置的方法创建列向量

A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
A = [1 2 3 
4 5 6
7 8 9];       //直接创建矩阵，用分号或换行实现分行

b. 创建等距数组

等距数组即线性代数中的向量，这种特殊的向量一般用于循环遍历，和高级语言中数组概念差不多，故也称为数组


  注意：用步长的方式可能最后一个数取不到（最后一个数和第一个数的差值不是步长整数倍）；但用函数linspace得到的数组是包含首位，共n个数（步长自动计算好了），n可以省略，省略时默认为100。

c. 创建等比数组

  和函数linspace一样，首位两个数都能取到，内部的等比已经计算好了。n值也可以省略，省略时默认为50。

d. 特殊矩阵

• A = [ ] : 创建一个空矩阵，空矩阵大小为0
• B = zeros(m, n) : 创建一个m行n列的零矩阵，如果只有一个参数n，则代表创建n阶方阵（下面的也类似），注意函数名有一个"s"！
• C = ones(m, n)：创建一个m行n列的全为1的矩阵，注意函数名有一个"s"！
• D = eye(m, n)：创建一个m行n列的单位矩阵，注意函数名没有"s"！
• E = rand(m, n)： 创建一个m行n列的在 [0, 1] 内均匀分布的随机矩阵，如果需要创建其他范围的随机矩阵，可以用其他表达式乘以该矩阵。
• F = randn(m,n)：创建一个m行n列的 标准正态分布（数据范围为[-1, 1]） 的矩阵。

e. 创建对角矩阵

f. Vandermonde矩阵

在MATLAB中创建Vandermonde矩阵的调用格式为：V=vander(C)，其中C为一个向量（行向量或列向量无所谓），表示$1,a_1,a_2,...,a_{n-1}$，得到的矩阵的阶数为C的长度。需要注意的是，这里的Vandermonde矩阵是按行分的，而教材上是按列分的。看个例子就很容易明白了。

g. 符号矩阵的生成

在MATLAB中，输入一个表达式，实际代入计算的是它的近似值，即算出表达式的值并取一个近似。这一点从MATLAB中无法利用自然对数$e$参与计算即可得知。而符号矩阵的作用就是使矩阵在计算时代入有理表达式，并在计算结果中保留有理表达式。如下图所示。

h. 多项式伴随矩阵

这里的伴随矩阵可不是线性代数中常用的$A^{\ast }$，而是多项式的伴随矩阵，这个矩阵的特点在于它的特征值为该多项式的根。其计算原理如下图所示。

调用方式为A = compan(P)，其中P为多项式的系数，从高次到低次。

i. 高阶矩阵的创建

比较少用，有缘再更新。

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2 矩阵的修改

2.1 如何获取一个矩阵的大小

• [row, col] = size(A) %row为矩阵A的行数，col为A的列数

如果不需要某个参数，可以用 ~ 符号代替，表示参数缺省，如：

• [row, ~] = size(A) %表示只取矩阵A的行数row

这个在其他可以省略参数中的函数是一样的，比如只需要第1个参数和第3个参数，而省略第2个参数，则必须用 ~ 代替。否则就会把第3个参数当作第2个参数。

此外，还有其他一些获取矩阵的行列的方式：

• row = size(A, 1) %表示获取矩阵A的第一个参数，即行数
• col = size(A, 2) %表示获取矩阵A的第二个参数，即列数
• a = length(A) %返回值a = max{row, col}

2.2 矩阵中的元素操作

  需要注意的是：矩阵、向量的索引都是小括号（），只有三维矩阵的索引和元胞数组（cell）是用 {}，千万别搞混了！

2.3 一些特殊子矩阵的提取

• diag(A, k)：表示将矩阵 A 的第 k 个对角线的元素提取组成列向量，若 k 省略 等价于k=0，表示主对角线元素。即该函数返回的是一个列向量。
• tril(A, k)：表示提取矩阵A的第k个对角线以下的元素组成下三角矩阵，剩余部分补0，如果k省略，等价于k=0，即主对角线元素。该函数返回的是一个矩阵。
• triu(A, k)：表示提取矩阵A的第k个对角线以上的元素组成上三角矩阵，剩余部分补0，如果k省略，等价于k=0，即主对角线元素。该函数返回的是一个矩阵。
• rot90(A)：表示将矩阵A逆时针旋转90°，注意和转置运算区分开来！
• fliplr(A)：表示将矩阵A左右翻转
• flipud(A)：表示将矩阵A上下翻转

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3 矩阵的运算

矩阵中常用的运算总结如下表：

  注意区分带点运算符和不带点运算符！
  另外，左除和右除的差别在于逆矩阵乘的位置，如果是$A^{-1}B$，则是A\B（左除），等价于inv(A)*B，如果不是方阵，则相当于求$AX=B$的解；
  如果是$B{A}^{-1}$，则是B/A（右除），等价于B*inv(A)，如果不是方阵，等价于$XA=B$的解。

二、线性相关与方程组

1 多项式

• poly2sym( p )：输出以向量p为系数的多项式$p(x)$。

• polyval(p, a)：返回多项式$p(x)$当$x=a$时的值。

• roots( p )：返回多项式函数$p(x)=0$的所有复数根

• conv(p1, p2)：返回多项式$p1(x)$和$p2(x)$的乘积结果的系数

• [a, b]=deconv(p1, p2)：返回$p1(x)$和$p2(x)$的商式a和余式b的系数。

• collect(f)：对符号多项式f(syms x，即f(x) )进行合并同类项

• expand(f)：对符号多项式f进行展开

• horner(f)：对符号多项式f进行嵌套分解
  

• factor(f)：对符号多项式进行因式分解

• [a, b, r] = residue(p, q)：将有理分式$p(x)/q(x)$分解为最简分式之和。看下面这个例子：
  

• [p, q] = residue(a, b, r)：将简单分式之和合并为一个有理分式，即上面那个表达式的逆运算。

2 向量组的相关性和极大无关组

• rank(A)：求矩阵A的秩
• rref(A)：将A化为行简化阶梯形矩阵，且每个主元都化为1，其他非该行主元都化为0。如下图所示。
  

这个指令的一个重要应用就是可以求矩阵的逆，即将单位阵和被求矩阵放一起再进行简化。

• [R, jb] = rref(A)：输出A行变换后的阶梯型矩阵R和入选极大无关组的向量序号jb，因此jb是一个向量。如下图所示。
  

3 齐次线性方程组的解

• B=null(A)：输出A的基础解系的标准正交基，即得到的矩阵B的所有列向量为$AX=0$的解向量，且这些解向量标准正交。
• B=null(A, ‘r’)：输出A的基础解系，矩阵B的所有列向量为$AX=0$的解，且不进行正交化。

  显而易见，比较常用的公式是后一个，即只求出基础解系。如果B矩阵为空矩阵，表示方程组$AX=0$只有零解，即A满秩。

4 非齐次线性方程组的解

首先补充一下理论知识：

这里只讨论有解的情况。

• 如果A为方阵，且A的行列式不为0，方程组有唯一解。
  此时可以用两种方式求解：①X=inv(A)*b或X=A\b；②克莱姆法则求解；③linsolve(A,b)，这个函数要求A必须是行满秩（A可以不是方阵）。
• 如果r(A)=r(A b)=r<n，方程组有无穷多解。
  此时方程组的解由齐次通解和非齐次特解组成。这里介绍两种求特解的方式：①x0=pinv(A)*b，表示求A的广义逆矩阵，再与b向量相乘；②x0=A\b，用左除法求AX=b的解。需要注意的是，两种方式求得的解一般不同，前者求的是所有解中范数最小的一个，而后者求的是所有解中含零个数最多的一个。

三、特征值与二次型

1 求矩阵的特征值

• d=eig(A)：仅计算A的特征值（以向量形式d存放）
• [V, D]=eig(A)：其中，D为由特征值构成的对角矩阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵，且使得$AV=VD$成立。

这里有两个注意点：
1. 如果A不可相似对角化，仍然能够求出一个V矩阵，但是V矩阵不是满秩的。
2. 这里得到的V矩阵是已经单位化后的矩阵，如果A为对称矩阵，则V为正交矩阵。

• trace(A)：计算矩阵A的迹。

2 二次型的标准化

• [P, T] = schur(A)：A为二次型矩阵，即实对称矩阵；T为A的特征值所构成的对角矩阵；P为T对应的正交变换的正交矩阵，P的列向量为A的特征值所对应的特征向量。

经过实验发现，这个函数的作用和eig函数是一致的，即对于实对称矩阵来说，两个函数都能得到其正交变换的矩阵。

3 二次型正定的判断

  一般判断二次型是否正定的方式是根据特征值，如果全为正数则为正定矩阵，但还有一种判断二次型是否正定的方法。

• [R, flag]=chol(A)：如果A正定，则返回参数flag为0，如果不正定，flag为非零整数。