期望与方差

• 1 背景
• 2 数学期望
  • 2.1 定义
  • 2.2 性质
  • 2.3 证明
• 3 方差
  • 3.1 定义
  • 3.2 性质
  • 3.3 证明
• 4 参考文献

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1 背景

分布函数是对随机变量的概率性质最完整的刻画，而随机变量的数字特征则是对某些由随机变量的分布所决定的常数，它刻画了随机变量（或者说，刻画了其分布）的某一方面的性质。我们在了解某一行业工人的经济状况时，首先关心的恐怕会是其平均收入(即期望)，这给了我们一个总体印象。另一类重要的数字特征，是衡量一个随机变量（或其分布）取值的散布程度(即方差)。

2 数学期望

2.1 定义

设离散型随机变量的分布律为：

若级数

绝对收敛(即)，则称级数的和为离散型随机变量的数学期望，记为，即

设连续型随机变量的概率密度为，若积分

绝对收敛，则称积分的值为连续型随机变量的数学期望，记为，即

2.2 性质

假设所遇到的随机变量的数学期望存在，则其期望具有以下重要的性质：

性质1：设是常数，则有

性质2：设是一个随机变量，是常数，则有

性质3： 设是俩个随机变量，则有

这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。

性质4： 设是相互独立的随机变量，则有

这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。

2.3 证明

证明1： 设随机变量为常数，其概率密度为，则根据期望定义可得

证毕。

证明2：设随机变量的概率密度为，为常数，则根据期望定义可得

证毕。

证明3：设二维随机变量的概率密度为.其边缘概率密度为，由复合随机变量的期望可得

证毕。

证明4：接着证明3，又若和相互独立，

证毕。

3 方差

3.1 定义

设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记为或，即

应用中还引入量，记为，称为标准差或均方差。

对于离散型随机变量，有

其中，是的分布律。

对于连续型随机变量，有

其中，是的概率密度。

3.2 性质

性质1：设是常数，则有

性质2：设是一个随机变量，是常数，则有

性质3： 设是两个随机变量，则有

特别地，若 相互独立，则有

这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。

性质4： 的充要条件是以概率1取常数，即

3.3 证明

证明1：

证明2：

证明3：

上式右端第三项：

若相互独立，由数学期望的性质4可知上式右端为0，于是

证明4： 充分性： 设，则有，于是

必要性：设 ，要证 。用反证法，假设 ，则对于某一个数 ，有 ，但由切比雪夫不等式（可参见上一文章 切比雪夫不等式证明及应用），对于任意的 和 ，可得

但上下矛盾，于是。

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4 参考文献

[1] 陈希孺. 概率论与数理统计[M]. 中国科学技术大学出版社, 2009.

[2] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 高等教育出版社, 2010.