矩阵分析笔记（一）

线性空间

$V$非空集合，$F$数域，在集合$V$中定义两种代数运算加法 $+$ 与数乘 $\cdot$ ，且满足运算律

• 加法交换律 $\alpha +\beta =\beta +\alpha$
• 加法结合律 $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$
• 零元素 $\exists 0\in V，使得\forall \alpha \in V有\alpha +0=\alpha$
• 负元素 $\forall \alpha \in V，都存在\beta 使得\alpha +\beta =0$
• $1\cdot \alpha =\alpha$
• 乘法结合律 $k(l\alpha )=(kl)\alpha$
• 分配律 $(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$
• 分配律 $k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$

$k,l\in F$

称$V$为数域$F$上线性空间

常见线性空间

• 向量空间
• 函数空间
• 矩阵空间
• 多项式空间

相关概念

• 线性表出
  $$\alpha =k_1{\beta }_1+...+k_n{\beta }_n$$
• 线性相关
  $$\begin{gathered} 0=k_1{\beta }_1+...+k_n{\beta }_n \\ {k}_1...k_n\ne 0 \end{gathered}$$
• 线性无关
  不线性相关
• 极大线性无关组
  向量组中存在一组向量线性无关，且每一个向量都能被无关组中向量线性表出
  与向量组等价
• 秩
  极大无关组向量个数

基本性质

• 含零向量的向量组线性相关
• 整体无关$\Rightarrow$部分无关，部分相关$\Rightarrow$整体相关
• 向量多的向量组可由向量少的向量组线性表出，那么向量多的向量组必线性相关
• 秩唯一但极大无关组不唯一
• 向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表出，向量组（Ⅰ）的秩 $\le$ 向量组（Ⅱ）的秩
• 等价向量组秩相同

基底 & 坐标 & 维度

$V$为$F$线性空间，若$V$中存在$n$个线性无关向量${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$，使得任意向量都可由${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$线性表出，即
$$\alpha =k_1{\alpha }_1+...+k_n{\alpha }_n$$
称${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$为基底，$(k_1,...,k_n{)}^T$为基底下坐标，称$V$为$n$维线性空间，记为$dimV=n$

我们研究的线性空间为有限维的

基变换

设${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$和${\beta }_1,...,{\beta }_n$为$n$维线性空间$V$的两组基底，关系为
$${\beta }_i=[{\alpha }_1,...,{\alpha }_n]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_{1i}\\ ...\\ {\alpha }_{ni}\end{array}\right],i=1,...,n$$
矩阵化则有
$$[{\beta }_1,...,{\beta }_n]=[{\alpha }_1,...,{\alpha }_n]\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& ...& a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& ...& a_{nn}\end{array}\right]$$
$n$阶方阵称过渡矩阵$P$
过渡矩阵$P$可逆

坐标变换

$\forall \xi \in V$，在两组基下坐标分别为$[x_1,...,x_n{]}^T$和$[y_1,...,y_n{]}^T$，则有
$$[x_1,...,x_n{]}^T=P[y_1,...,y_n{]}^T$$

线性子空间

设$V$为数域$F$上的一个$n$维子空间，$W$为$V$的一个非空子集合，若对$\forall \alpha ,\beta \in W$以及$\forall k,l\in F$有
$$k\alpha +l\beta \in W$$
称$W$为$V$的子空间

平凡子空间

线性空间$V$和$0$称平凡子空间

生成子空间

$span\{{\alpha }_1,...,{\alpha }_s\}$

子空间的交 & 和

• $V_1\cap V_2$
• $V_1+V_2$
  子空间的交空间与和空间都构成$V$的子空间
  $dim{V}_1+dim{V}_2=dim(V_1+V_2)+dim(V_1\cap V_2)$

线性映射

设$V_1,V_2$是数域$F$上两个线性空间，映射$\varphi :V_1\to V_2$，对于$V_1$任何两个向量${\alpha }_1,{\alpha }_2$和任何数$\lambda \in F$都有
$$\begin{gathered} \varphi ({\alpha }_1+{\alpha }_2)=\varphi ({\alpha }_1)+\varphi ({\alpha }_1) \\ \varphi (\lambda {\alpha }_1)=\lambda \varphi ({\alpha }_1) \end{gathered}$$
称映射$\varphi$是由$V_1$到$V_2$的线性映射。称$\alpha$为$\varphi (\alpha )$原像，$\varphi (\alpha )$为$\alpha$的像

性质

• $\varphi (0)=0$
• $\varphi (\sum k_i{\alpha }_i)=\sum k_i\varphi ({\alpha }_i)$
• 设${\alpha }_1,...,{\alpha }_s\in V$且线性相关，则$\varphi ({\alpha }_1),...,\varphi ({\alpha }_s)$线性相关

值域

设$\varphi$为$V_1$到$V_2$的线性映射
令$\varphi (V_1)=\{\beta =\varphi (\alpha )\in V_2,\forall \alpha \in V_1\}$
则$\varphi (V_1)$为$V_2$线性子空间，称线性映射$\varphi$的值域，记为$R(\varphi )$

核子空间

令$N(\varphi )={\varphi }^{-1}(0)=\{\alpha \in V_1|\varphi (\alpha )=0\}$
则$N(\varphi )$为$V_1$线性子空间，称线性映射$\varphi$的核子空间，$dimN(\varphi )$称为$\varphi$的零度

秩与零度定理

设$\varphi$是$n$维线性空间$V_1$到$m$维线性空间$V_2$的线性映射，那么
$$dimR(\varphi )+dimN(\varphi )=n$$

线性变换

设$\varphi$为$V$到$V$的一个线性映射，称$\varphi$是线性空间$V$的线性变换

例如微分变换

相似

设$\varphi$为$V$的线性变换，${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$与${\beta }_1,...,{\beta }_n$是$V$的两组基。由$\{{\alpha }_i\}$到$\{{\beta }_i\}$的过渡矩阵为$P$，$\varphi$在基${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$下的矩阵为$A$，在基${\beta }_1,...,{\beta }_n$下的矩阵为$B$，则
$$B=P^{-1}AP$$
且$A$与$B$相似，记为$BA$

特征值 & 特征向量

设$A$为$n$阶方阵。若存在数$\lambda$及$n$元非零列向量$X$，使得
$$AX=\lambda X或(\lambda I-A)X=0$$
则称$\lambda$为矩阵$A$特征值，$X$为矩阵$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量

相关定义

• 设$A$为数域$F$的$n$阶矩阵，矩阵$\lambda I-A$称为$A$特征矩阵
• 行列式
  $$|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& ...& -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& ...& -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& ...& \lambda -a_m\end{array}\right|$$
  称为$A$特征多项式
• $n$次代数方程$|\lambda I-A|=0$称为$A$特征方程
  根称为$A$的特征根（特征值）
• 矩阵所有特征根全体称$A$的谱，记为$\sigma (A)$
• $(\lambda I-A)X=0$称特征方程组

性质

• $|A|={\lambda }_1...{\lambda }_n$

矩阵可逆充要条件为所有特征值都不为零

• ${\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i$
• 若$A$特征值为$\lambda$，$X$是$A$对应于$\lambda$的特征向量，则
  • $kA$特征值为$k\lambda$
  • $A^m$特征值为${\lambda }^m$
  • 若$A$可逆，则$A^{-1}$特征值为${\lambda }^{-1}$
  • $f(x)$为$x$多项式，则$f(x)$特征值为$f(\lambda )$
• $X$仍为矩阵$kA,A^m,A^{-1},f(A)$分别对应于$k\lambda ,{\lambda }^m,{\lambda }^{-1},f(\lambda )$的特征向量

特征子空间

$n$阶矩阵$A$的对应特征值${\lambda }_0$的全部特征向量再添上零向量，可以组成$R^n$的子空间，称为矩阵$A$属于特征值${\lambda }_0$的特征子空间，记为$V_{{\lambda }_0}$，不难看出$V_{{\lambda }_0}$为特征方程组
$$({\lambda }_{0}I-A)X=0$$
的解空间

代数重复度

设${\lambda }_1,...,{\lambda }_r$为$r$个互不相同的特征值，对应重数为$p_1,...,p_r$，称$p_i$为${\lambda }_i$代数充重复度
$$|\lambda I-A|=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{p_1}...(\lambda -{\lambda }_r{)}^{p_r}$$

几何重复度

特征子空间$V_{{\lambda }_0}$的维数$q_i$为${\lambda }_i$的几何重复度
$$q_i=n-rank({\lambda }_{i}I-A)$$

性质

• 属于不同特征值的特征向量线性无关
• 设${\lambda }_1,...,{\lambda }_r$为$A$的$r$个互不相同的特征值。$q_i$是${\lambda }_i$几何重复度，${\alpha }_{i1},...,{\alpha }_{i{q}_i}$是对应于${\lambda }_i$的$q_i$个线性无关特征向量，则$A$所有特征向量${\alpha }_{11},...,{\alpha }_{1q_1}$,…,${\alpha }_{r1};...;{\alpha }_{r{q}_r}$都线性无关
• 一个特征向量不属于不同特征值
• $A$任意特征值${\lambda }_i$几何重复度$q_i$不大于代数重复度$p_i$

相似矩阵

性质

相似矩阵有相同

• 特征多项式
• 特征值
• 行列式值
• 秩
• 迹
• 谱

可对角化条件

可对角化

$n$阶矩阵$A$与对角矩阵相似，则称$A$可对角化，也称$A$为单纯矩阵

条件

• $n$阶矩阵$A$可对角化的充要条件为$n$个线性无关特征向量
• $n$阶矩阵$A$可对角化的充要条件每个特征值的几何重复度等于代数重复度
• 若$n$阶矩阵有$n$互异特征值（特征多项式无重根），则$A$可相似对角化

同时对角化

• 设$A\in C^{n\times n},B\in C^{m\times m}$，且$C=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]$，则$C$可对角化充要条件为$A,B$都可对角化
• 设$A,B\in C^{n\times n}$都可对角化，则$A,B$同时对角化充要条件为$AB=BA$