树状数组+离散化

树状数组的优点

• 快速修改某个数$O(logn)$
• 快速求前缀和$O(logn)$

对比原数组：

• 修改某个数$O(1)$
• 求前缀和$O(n)$

对比前缀和数组

• 修改某个数$O(n)$
• 求前缀和$O(1)$

树状数组的实现

原理看博客：主要就是使用二进制思想，将原数组分成块状，进而对其进行修改和求和
主要两个操作：

• 修改操作：在某个位置+c，就是在当前块和后续块+c

public void add(int x, int c) {
    
	for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
    
		tr[i] += c;
	}
}

• 求和操作：将$a[1\sim x]$的元素相加

public int sum(int x) {
    
	int res = 0;
	for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)) {
    
		res += tr[i];
	}
}

(其中，lowbit(x)是求x的二进制表示中最后一位1，即x&(-x))

• 但是题目中经常会出现n很大的情况，例如$n>10^6$，或者存在负数的情况，那么树状数组就会非常大或者下标越界，导致内存溢出。所以在此时就需要原数组进行离散化。离散化有两步操作，分别是排序+去重，这个可以借助有序集合实现。但是用有序集合实现后，对应的数下标无法快速确定，此时需要借助哈希表，将有序集合中的数映射到[1,n]上，此时就满足了树状数组的要求。（离散化实现：有序集合+哈希表）

例题

LeetCode327. 区间和的个数

给你一个整数数组 $nums$ 以及两个整数 $lower$ 和 $upper$。求数组中，值位于范围 $[lower,upper]$ （包含$lower$ 和 $upper$）之内的区间和的个数 。

区间和$S(i,j)$ 表示在$nums$中，位置从$i$到$j$的元素之和，包含$i$和 $j$ ($i\le j$)。

提示：

• $1<=nums.length<=10^5$
• $-2^{31}<=nums[i]<=2^{31}-1$
• $-10^5<=lower<=upper<=10^5$
• 题目数据保证答案是一个 32 位 的整数

思路：
使用前缀和求出$sum[i]$，那么对于$i$，可以暴力遍历$j,(1\le j\le i-1)$来计算$sum[i]-sum[j]$来得到满足区间和$[lower,upper]$的个数。此时整个的时间复杂度$O(n^2)$，必然超时。此时想到可以使用树状数组来求解。
$lower\le sum[i]-sum[j]\le upper\Rightarrow sum[i]-upper\le sum[j]\le sum[i]-lower$。
即计算在$[sum[i]-upper,sum[i]-lower]$的数的个数。使用树状数组可以快速在$O(logn)$下得到。但是$sum[i]$的数据范围很大，对应的树状数组$tr[n+1]$也很大，且会越界。所以需要离散化。离散化借助有序集合+哈希表即可。离散化需要将所有用到的数都存入有序集合中，然后将这些数映射到$[1,max]$。后续操作只需到对$[1,max]$上进行操作即可。

class Solution {
    

    int[] tr;
    int max;

    public int countRangeSum(int[] nums, int lower, int upper) {
    
        int n = nums.length;
        long[] sum = new long[n+1];
        for(int i = 1; i <= n;i++) {
    
            sum[i] = sum[i-1] + nums[i-1];
        }
        TreeSet<Long> set = new TreeSet<>();
        set.add(0l);
        for(long x : sum) {
    
            set.add(x);
            set.add(x - lower);
            set.add(x - upper - 1);
        }
        Map<Long,Integer> map = new HashMap<>();
        int idx = 1;
        for(long x : set) {
    
            map.put(x,idx++);
        }
        tr = new int[idx+1];
        max = idx;
        int res = 0;
        for(long x : sum) {
    
            res += sum(map.get(x - lower)) - sum(map.get(x - upper - 1));
            add(map.get(x),1);
        }
        return res;
    }

    public int lowbit(int x) {
    
        return x & (-x);
    }

    public void add(int x, int c) {
    
        for(int i = x; i <= max;i += lowbit(i)) {
    
            tr[i] += c;
        } 
    }

    public int sum(int x) {
    
        int res = 0;
        for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)) {
    
            res += tr[i];
        }
        return res;
    }
}