样本方差为什么除以(n-1)

引言

学概率论和数理统计当时有个问题：样本方差为什么除以(n-1)，当时学习的时候不是很理解，然而问老师老师也讲不出所以然（感觉老师好水呃…），于是自己找资料学习一下吧。整理如下。

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1.前置知识

之前学过概率论和数理统计的小伙伴肯定也知道下面的公式：

1.如果均值（期望）$\mathbf{E}(x)=\mu$，方差$\mathbf{D}(x)={\sigma }^2$，那么$\mathbf{E}(\overline{x})=\mu$，$\mathbf{D}(\overline{x})={\sigma }^2/n$

2.注意总体方差${\sigma }^2$和样本方差$S^2$的公式是不一样的，首先分母一个是除以n，一个是除以(n-1)，其次平方和内部一个减去的是总体均值$\mu$，一个减去的是样本均值$\overline{x}$，也即。
$${\sigma }^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}{n},S^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}{n-1}$$

3.${\sum }_{1=1}^k(x_i-\overline{x})=0$

2.证明思路

其实样本方差$S^2$本质上是总体均值$\mu$或总体方差${\sigma }^2$的一个点估计，是一个随机变量，而良好的点估计有两点最重要的性质：

（1）点估计是无偏的，点估计的期望值应该是被估计的参数，但仅满足这一点不够，因为点估计的形式可能有很多，所以还有第2条。

（2）无偏估计量有最小方差，最小方差点估计的方差比参数的任何一个其他估计量的方差都小。

下面证明$S^2$是${\sigma }^2$的无偏估计量。即证明点估计的期望值应该是被估计的总体参数。

3.证明过程

总结了一下有下面的两种证明方法：其中第一种是书上常见给出的，第二种更好进行理解。

证明方法1：$$\begin{array}{rl}\mathbf{E}(S^2)& =\mathbf{E}(\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}{n-1})\\ & =\frac{1}{n-1}\mathbf{E}[\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2]\\ & =\frac{1}{n-1}\mathbf{E}[\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\overline{x}}^2]\\ & =\frac{1}{n-1}[\sum _{i=1}^n({\mu }^2+{\sigma }^2)-n({\mu }^2+\frac{{\sigma }^2}{n})]\\ & =\frac{1}{n-1}(n-1){\sigma }^2\\ & ={\sigma }^2\end{array}$$
证明方法2：
假设$t$是一个常数：$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n(x_i-t{)}^2& =\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}+\overline{x}-t{)}^2\\ & =\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+2\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(\overline{x}-t)+\sum _{i=1}^n(\overline{x}-t{)}^2\\ & =\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+2(\overline{x}-t)\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})+\sum _{i=1}^n(\overline{x}-t{)}^2\\ & =\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+\sum _{i=1}^n(\overline{x}-t{)}^2\\ & =\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+n(\overline{x}-t{)}^2\end{array}$$
令式中的$t$为总体均值$\mu$，则有$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2=\sum _{i=1}^n(\overline{x}-\mu {)}^2-n(\overline{x}-\mu {)}^2\end{array}$$
可以看到${\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$和${\sum }_{i=1}^n(\overline{x}-\mu {)}^2$之间不是严格相等的，还相差一个$n(\overline{x}-\mu {)}^2$。则$$\begin{array}{rl}\mathbf{E}(S^2)& =\mathbf{E}(\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}{n-1})\\ & =\frac{1}{n-1}\mathbf{E}[\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2]\\ & =\frac{1}{n-1}\mathbf{E}[\sum _{i=1}^n(\left(\overline{x}-\mu {)}^2-n(\overline{x}-\mu {)}^2\right)]\\ & =\frac{1}{n-1}[\mathbf{E}\left(\sum _{i=1}^n(\overline{x}-\mu {)}^2\right)-\mathbf{E}\left(\sum _{i=1}^{n}n(\overline{x}-\mu {)}^2\right)]\\ & =\frac{1}{n-1}[\mathbf{E}\left(\sum _{i=1}^n(\overline{x}-\mu {)}^2\right)-n\mathbf{E}\left(\sum _{i=1}^n(\overline{x}-\mu {)}^2\right)]\\ & =\frac{1}{n-1}(n{\sigma }^2-n\cdot \frac{{\sigma }^2}{n})\\ & ={\sigma }^2\end{array}$$

两种证明方法都可以帮助理解。希望能对大家有帮助。