梯度下降法介紹-黑馬程序員機器學習講義

學習目標

• 知道全梯度下降算法的原理
• 知道隨機梯度下降算法的原理
• 知道隨機平均梯度下降算法的原理
• 知道小批量梯度下降算法的原理

上一節中給大家介紹了最基本的梯度下降法實現流程，常見的梯度下降算法有：

• 全梯度下降算法(Full gradient descent）,
• 隨機梯度下降算法（Stochastic gradient descent）,
• 小批量梯度下降算法（Mini-batch gradient descent）,
• 隨機平均梯度下降算法（Stochastic average gradient descent）

它們都是為了正確地調節權重向量，通過為每個權重計算一個梯度，從而更新權值，使目標函數盡可能最小化。其差別在於樣本的使用方式不同。

1 全梯度下降算法（FG）

計算訓練集所有樣本誤差，對其求和再取平均值作為目標函數。

權重向量沿其梯度相反的方向移動，從而使當前目標函數减少得最多。

因為在執行每次更新時，我們需要在整個數據集上計算所有的梯度，所以批梯度下降法的速度會很慢，同時，批梯度下降法無法處理超出內存容量限制的數據集。

批梯度下降法同樣也不能在線更新模型，即在運行的過程中，不能增加新的樣本。

其是在整個訓練數據集上計算損失函數關於參數θ的梯度：

 

2 隨機梯度下降算法（SG）

由於FG每迭代更新一次權重都需要計算所有樣本誤差，而實際問題中經常有上億的訓練樣本，故效率偏低，且容易陷入局部最優解，因此提出了隨機梯度下降算法。

其每輪計算的目標函數不再是全體樣本誤差，而僅是單個樣本誤差，即每次只代入計算一個樣本目標函數的梯度來更新權重，再取下一個樣本重複此過程，直到損失函數值停止下降或損失函數值小於某個可以容忍的閾值。

此過程簡單，高效，通常可以較好地避免更新迭代收斂到局部最優解。其迭代形式為

 

其中，x(i)錶示一條訓練樣本的特征值，y(i)錶示一條訓練樣本的標簽值

但是由於，SG每次只使用一個樣本迭代，若遇上噪聲則容易陷入局部最優解。

3 小批量梯度下降算法（mini-batch）

小批量梯度下降算法是FG和SG的折中方案,在一定程度上兼顧了以上兩種方法的優點。

每次從訓練樣本集上隨機抽取一個小樣本集，在抽出來的小樣本集上采用FG迭代更新權重。

被抽出的小樣本集所含樣本點的個數稱為batch_size，通常設置為2的幂次方，更有利於GPU加速處理。

特別的，若batch_size=1，則變成了SG；若batch_size=n，則變成了FG.其迭代形式為

 

4 隨機平均梯度下降算法（SAG）

在SG方法中，雖然避開了運算成本大的問題，但對於大數據訓練而言，SG效果常不盡如人意，因為每一輪梯度更新都完全與上一輪的數據和梯度無關。

隨機平均梯度算法克服了這個問題，在內存中為每一個樣本都維護一個舊的梯度，隨機選擇第i個樣本來更新此樣本的梯度，其他樣本的梯度保持不變，然後求得所有梯度的平均值，進而更新了參數。

如此，每一輪更新僅需計算一個樣本的梯度，計算成本等同於SG，但收斂速度快得多。

5 小結

• 全梯度下降算法（FG）【知道】
  • 在進行計算的時候,計算所有樣本的誤差平均值,作為我的目標函數
• 隨機梯度下降算法（SG）【知道】
  • 每次只選擇一個樣本進行考核
• 小批量梯度下降算法（mini-batch）【知道】
  • 選擇一部分樣本進行考核
• 隨機平均梯度下降算法（SAG）【知道】
  • 會給每個樣本都維持一個平均值,後期計算的時候,參考這個平均值