CF888G-巧妙字典树+暴力分治（异或最小生成树）

题目大意

给你一张完全图，任意两个点之间的边权是$a_i\oplus a_j$.问你最小生成树大小

题目思路

看到异或位运算。自然想到字典树.将所有点插入到字典树.看看效果

性质:
令$S_i$为节点$i$的所有叶子节点在图中所构成的连通块.

1.图中任意两点连边，等价于树上的对应叶子节点$lca$往下的花费。所以$LCA$越深越好
2.任意一个节点，若存在两个儿子$a,b$，那么对于将$S_a,S_b$联通时,这一位的花费是固定不可避免的.
反之，若只存在一个儿子,连通 $S_a$ 本身，这一位的花费是没有的。

所以容易设计出暴力+贪心的方法：
dfs从高位开始遍历所有 含有两个儿子$a,b$的节点，然后递归的在$a,b$子树里贪心的尽量移动同样的位值。使得花费最小。

时间复杂度:$O(nlogn)$

解释：
最差情况就是 字典树是一颗完全二叉树.这个时候需要枚举n个节点。
递归的复杂度是节点子树大小.
$O(\sum sz(i))=O(\sum dep(i))=O({\sum }_{i=0}^{logn}{2}^i\ast i)=O(nlogn)$

算法正确性:
根据Brouka算法，
最开始叶子节点合并时，只有当他们不在同一个点时，会产生花费。
第一轮合并连通块后。在字典树上缩点。递归论证.

不难看出上述算法就是Brouka算法的过程。只是逆过来了更好处理。
当然也可以直接模拟B算法，但是需要支持动态开点+合并操作的字典树。复杂度也会比较高.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define vi vector<int>
#define vll vector<ll>
#define fi first
#define se second
const int maxn = 2e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
const int up = 30;
int a[maxn];
namespace Trie{
    
    int tr[maxn * 20][2] , cnt;
    void add (int x){
    
        int u = 0;
        for (int i = up ; i >= 0 ; i--){
    
            int v = (x >> i) & 1;
            if (!tr[u][v]) tr[u][v] = ++cnt;
            u = tr[u][v];
        }
    }
    int ask (int u , int v , int step){
    
        if (step == -1) return 0;
        int x = -1 , y = -1;
        if (tr[u][0] && tr[v][0]) x = ask(tr[u][0],tr[v][0],step-1);
        if (tr[u][1] && tr[v][1]) y = ask(tr[u][1],tr[v][1],step-1);
        if (~x && ~y) return min(x , y);
        if (~x) return x; if (~y) return y;
        x = y = -1;
        if (tr[u][0] && tr[v][1]) x = ask(tr[u][0],tr[v][1],step-1) + (1 << step);
        if (tr[u][1] && tr[v][0]) y = ask(tr[u][1],tr[v][0],step-1) + (1 << step);
        if (~x && ~y) return min(x , y);
        if (~x) return x;
        return y;
    }
    ll dfs (int u , int step){
    
        if (step == -1) return 0;
        ll ans = 0;
        if (tr[u][0] && tr[u][1]){
    
            ans += 1ll * ask(tr[u][0] , tr[u][1] , step - 1) + (1ll << step);
        }
        if (tr[u][0]) ans += dfs(tr[u][0] , step - 1);
        if (tr[u][1]) ans += dfs(tr[u][1] , step - 1);
        return ans;
    }
}

int main()
{
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {
    
        int x;cin >> x;
        Trie::add(x);
    }
    cout << Trie::dfs(0 , up) << endl;
    return 0;
}