【综合笔试题】难度 2.5/5 :「树状数组」与「双树状数组优化」

题目描述

这是 LeetCode 上的「1395. 统计作战单位数」，难度为「中等」。

Tag : 「树状数组」、「容斥原理」

n 名士兵站成一排。每个士兵都有一个 独一无二 的评分 rating 。

每

3

个士兵可以组成一个作战单位，分组规则如下：

• 从队伍中选出下标分别为 i、j、k 的

3

名士兵，他们的评分分别为

rating[i]

、

rating[j]

、

rating[k]

• 作战单位需满足：

rating[i] < rating[j] < rating[k]

或者

rating[i] > rating[j] > rating[k]

，其中

0 <= i < j < k < n

请你返回按上述条件可以组建的作战单位数量。每个士兵都可以是多个作战单位的一部分。

示例 1：

输入：rating = [2,5,3,4,1]

输出：3

解释：我们可以组建三个作战单位 (2,3,4)、(5,4,1)、(5,3,1) 。

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示例 2：

输入：rating = [2,1,3]

输出：0

解释：根据题目条件，我们无法组建作战单位。

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示例 3：

输入：rating = [1,2,3,4]

输出：4

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提示：

n == rating.length

3 <= n <= 1000

1 <= rating[i] <= 10^5

• rating 中的元素都是唯一的

基本分析

为了方便，我们记 rating 为 rs。

题目本质是要我们统计所有满足「递增」或「递减」的三元组。换句话说，对于每个

t = rs[i]

而言，我们需要统计比其

t

大或比

t

小的数的个数。

问题涉及「单点修改（更新数值

t

的出现次数）」以及「区间查询（查询某段范围内数的个数）」，使用「树状数组」求解较为合适。

树状数组 - 枚举两端

一个朴素的想法是，对于三元组

(i, j, k)

，我们枚举其两端

i

和

k

，根据

rs[i]

和

rs[k]

的大小关系，查询范围

[i + 1, k - 1]

之间合法的数的个数。

在确定左端点

i

时，我们从

i + 1

开始「从小到大」枚举右端点

k

，并将遍历过程中经过的

rs[k]

添加到树状数组进行计数。

处理过程中根据

a = rs[i]

和

b = rs[k]

的大小关系进行分情况讨论：

• 当

a < b

时，我们需要在范围

[i + 1, k - 1]

中找「大于

a

」同时「小于

b

」的数的个数，即 query(b - 1) - query(a)

• 当

a > b

时，我们需要在范围

[i + 1, k - 1]

中找「小于

a

」同时「大于

b

」的数的个数，即 query(a - 1) - query(b)

一些细节：显然我们需要在枚举每个左端点

i

时清空树状数组，但注意不能使用诸如 Arrays.fill(tr, 0) 的方式进行清空。

因为在没有离散化的情况下，树状数组的大小为

m = 1e5

，即执行 Arrays.fill 操作的复杂度为

O(m)

，这会导致我们计算量为至少为

n \times m = 1e8

，会有 TLE 风险。

因此一个合适做法是：在

[i + 1, n - 1]

范围内枚举完

k

后（进行的是 +1 计数），再枚举一次

[i + 1, n - 1]

进行一次 -1 的计数进行抵消。

代码：

class Solution {
    static int N = (int)1e5 + 10;
    static int[] tr = new int[N];
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void update(int x, int v) {
        for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
        return ans;
    }
    public int numTeams(int[] rs) {
        int n = rs.length, ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = rs[i];
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                int b = rs[j];
                if (a < b) ans += query(b - 1) - query(a);
                else ans += query(a - 1) - query(b);
                update(b, 1);
            }
            for (int j = i + 1; j < n; j++) update(rs[j], -1);
        }
        return ans;
    }
}

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• 时间复杂度：令

m = 1e5

为值域大小，整体复杂度为

O(n^2\log{m})

• 空间复杂度：

O(m)

双树状数组优化 - 枚举中点

我们考虑将

n

的数据范围提升到

1e4

该如何做。

上述解法的瓶颈在于我们枚举三元组中的左右端点，复杂度为

O(n^2)

，而实际上利用三元组必然递增或递减的特性，我们可以调整为枚举终点

j

，从而将「枚举点对」调整为「枚举中点」，复杂度为

O(n)

。

假设当前枚举到的点为

rs[i]

，问题转换为在

[0, i - 1]

有多少比

rs[i]

小/大 的数，在

[i + 1, n - 1]

有多少比

rs[i]

大/小 的数，然后集合「乘法」原理即可知道

rs[i]

作为三元组中点的合法方案数。

统计

rs[i]

左边的比

rs[i]

大/小 的数很好做，只需要在「从小到大」枚举

i

的过程中，将

rs[i]

添加到树状数组 tr1 即可。

对于统计

rs[i]

右边比

rs[i]

小/大 的数，则需要通过「抵消计数」来做，起始我们先将所有

rs[idx]

加入到另外一个树状数组 tr2 中（进行 +1 计数），然后在从前往后处理每个

rs[i]

的时候，在 tr2 中进行 -1 抵消，从而确保我们处理每个

rs[i]

时，tr1 存储左边的数，tr2 存储右边的数。

代码：

class Solution {
    static int N = (int)1e5 + 10;
    static int[] tr1 = new int[N], tr2 = new int[N];
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void update(int[] tr, int x, int v) {
        for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
    }
    int query(int[] tr, int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
        return ans;
    }
    public int numTeams(int[] rs) {
        int n = rs.length, ans = 0;
        Arrays.fill(tr1, 0);
        Arrays.fill(tr2, 0);
        for (int i : rs) update(tr2, i, 1);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = rs[i];
            update(tr2, t, -1);
            ans += query(tr1, t - 1) * (query(tr2, N - 1) - query(tr2, t));
            ans += (query(tr1, N - 1) - query(tr1, t)) * query(tr2, t - 1);
            update(tr1, t, 1);
        }
        return ans;
    }
}

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• 时间复杂度：令

m = 1e5

为值域大小，整体复杂度为

O(n\log{m})

• 空间复杂度：

O(m)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1395 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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