高等数学（第七版）同济大学 习题1-7 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题1-7

 

$\begin{array}{rlr}& 1.当x\to 0时，2x-x^2与x^2-x^3相比，哪一个是高阶无穷小？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 因为\underset{x\to 0}{\lim }(2x-x^2)=0，\underset{x\to 0}{\lim }(x^2-x^3)=0，\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-x^3}{2x-x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-x^2}{2-x}=0，& \\ & & \\ & 所以当x\to 0时，x^2-x^3是比2x-x^2高阶的无穷小。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 2.当x\to 0时，(1-cosx{)}^2与si{n}^{2}x相比，哪一个是高阶无穷小？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 因为\underset{x\to 0}{\lim }(1-cosx{)}^2=0，\underset{x\to 0}{\lim }si{n}^{2}x=0，\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-cosx{)}^2}{si{n}^{2}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^2}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{4}{x}^2=0，& \\ & & \\ & 所以当x\to 0时，(1-cosx{)}^2是比si{n}^{2}x高阶的无穷小。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 3.当x\to 1时，无穷小1-x和(1)1-x^3，(2)\frac{1}{2}(1-x^2)是否同阶，是否等价？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)因为\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-x}{1-x^3}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{1+x+x^2}=\frac{1}{3}，所以当x\to 1时，无穷小1-x与1-x^3同阶。& \\ & & \\ & (2)因为\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-x}{\frac{1}{2}(1-x^2)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2}{1+x}=1，所以当x\to 1时，无穷小1-x与\frac{1}{2}(1-x^2)等价。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 4.证明：当x\to 0时，有& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)arctanx\sim x；(2)secx-1\sim \frac{x^2}{2}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)令x=tant，t=arctanx，当x\to 0时，t\to 0。因为\underset{x\to 0}{\lim }\frac{arctanx}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{tant}=1，& \\ & & \\ & 所以当x\to 0时，arctanx\sim x。& \\ & & \\ & (2)因为\underset{x\to 0}{\lim }\frac{secx-1}{\frac{x^2}{2}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1-cosx}{cosx}}{\frac{1}{2}{x}^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{cosx}=1，& \\ & & \\ & 所以当x\to 0时，secx-1\sim \frac{x^2}{2}。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 5.利用等价无穷小的性质，求下列极限：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tan3x}{2x}；(2)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin(x^n)}{(sinx{)}^m}(n，m为正整数)；& \\ & & \\ & (3)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tanx-sinx}{si{n}^{3}x}；(4)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx-tanx}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tan3x}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin3x}{2cos3x\cdot x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{cos3x}\cdot \frac{sin3x}{3x}\right)=\frac{3}{2}& \\ & & \\ & (2)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin(x^n)}{(sinx{)}^m}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^n}{x^m}=\{\begin{array}{l}0，n>m，\\ \\ 1，n=m，\\ \\ \infty ，n<m.\end{array}& \\ & & \\ & (3)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tanx-sinx}{si{n}^{3}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx-sinx\cdot cosx}{cosx\cdot si{n}^{3}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-cosx}{cosx\cdot si{n}^{2}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2cosx\cdot \frac{si{n}^{2}x}{x^2}}=\frac{1}{2}& \\ & & \\ & (4)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx-tanx}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx(1-secx)}{\frac{1}{3}{x}^2\cdot \frac{1}{2}sinx}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{\frac{1}{6}{x}^2}=-3& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 6.证明无穷小的等价关系具有下列性质：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)\alpha \sim \alpha （自反性）；(2)若\alpha \sim \beta ，则\beta \sim \alpha （对称性）；& \\ & & \\ & (3)若\alpha \sim \beta ，\beta \sim \gamma ，则\alpha \sim \gamma （传递性）& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)因为\lim \frac{\alpha }{\alpha }=1，所以\alpha \sim \alpha ；& \\ & & \\ & (2)因为\alpha \sim \beta ，即\lim \frac{\alpha }{\beta }=1，所以\lim \frac{\beta }{\alpha }=1，即\beta \sim \alpha ；& \\ & & \\ & (3)因为\alpha \sim \beta ，\beta \sim \gamma ，即\lim \frac{\alpha }{\beta }=1，\lim \frac{\beta }{\gamma }=1，所以\lim \frac{\alpha }{\gamma }=\lim \left(\frac{\alpha }{\beta }\cdot \frac{\beta }{\gamma }\right)=\lim \frac{\alpha }{\beta }\cdot \lim \frac{\beta }{\gamma }=1，即\alpha \sim \gamma & \end{array}$