当前位置：网站首页>【高等数学】【1】函数、极限、连续

【高等数学】【1】函数、极限、连续

2022-07-25 20:03:00 【司六米希】

【高等数学】【1】函数、极限、连续

1. 映射与函数
2. 数列的极限
- 2.1 数列极限的定义
- 2.2 收敛数列的性质
3.函数的极限
4. 无穷小与无穷大
5. 极限运算法则
6. 极限存在准则两个重要极限
7. 无穷小的比较
8.函数的连续性与间断点
10. 闭区间上连续函数的性质

1. 映射与函数

1.1 映射

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

1.2 复合映射

设有两个映射
在这里插入图片描述

1.3 函数

1.3.1 绝对函数

在这里插入图片描述

1.3.2 符号函数

在这里插入图片描述

1.3.3 取整函数

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

1.3.4 分段函数

一个函数要用几个式子表示，这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数

1.4 函数的特性

在这里插入图片描述
注意是有等于

1.5 奇偶函数

在这里插入图片描述

一个定义域对称的函数，一定能拆成一个奇函数和一个偶函数

1.6 初等函数

在这里插入图片描述

1.7 反双曲函数

在这里插入图片描述

1.8 幂指函数

在这里插入图片描述

2. 数列的极限

2.1 数列极限的定义

在这里插入图片描述

2.2 收敛数列的性质

极限的唯一性，如果数列{ $x_n$ }收敛，那么它的极限唯一
收敛数列的有界性，如果数列{ $x_n$ }收敛，那么数列一定有界

3.函数的极限

3.1 函数极限定义【自变量趋于有限值时】

在这里插入图片描述

3.2 单侧极限

在这里插入图片描述

3.3 函数极限定义【自变量趋于无穷大时】

在这里插入图片描述

3.4 函数极限的性质

在这里插入图片描述

4. 无穷小与无穷大

4.1 无穷小定义

在这里插入图片描述

4.2 无穷大定义

在这里插入图片描述

4.3 定理

在这里插入图片描述

5. 极限运算法则

两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小之和也是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
注意，若 $y_n$ =0，则关于商的极限的运算法则不能应用

6. 极限存在准则两个重要极限

6.1 两个重要极限

$\lim\limits_{x\rightarrow{0}}\frac{sinx}{x}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}({1+\frac{1}{x}})^x =e$

6.2 极限存在准则

6.2.1 数列极限存在准则1

在这里插入图片描述

6.2.2 函数极限存在准则1【夹逼准则】

在这里插入图片描述

6.2.3 数列极限存在准则2

单调有界数列必有极限
注意: 有界数列不一定有极限
在这里插入图片描述

6.2.4 函数极限存在准则2【柯西极限存在准则 (柯西审敛原理)】

在这里插入图片描述

7. 无穷小的比较

7.1 定义

在这里插入图片描述

7.2 等价无穷小定理

在这里插入图片描述

7.3 加减法使用等价无穷小

在这里插入图片描述

7.4 等价无穷小【常用】

在这里插入图片描述

7.5 注意事项

无穷小应用于乘除法

8.函数的连续性与间断点

8.1 连续性定义

方式一
在这里插入图片描述
方式二

8.2间断点

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

8.2.1无穷间断点【第二类】

在这里插入图片描述

8.2.2 振荡间断点【第二类】

在这里插入图片描述

8.2.3 可去间断点【第一类】

在这里插入图片描述

8.2.4跳跃间断点【第一类】

在这里插入图片描述

8.2.5 第一类间断点+第二类间断点

在这里插入图片描述

9. 连续函数的运算与初等函数的连续性

9.1 连续函数定理

在这里插入图片描述

9.2初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

10. 闭区间上连续函数的性质

10.1 有界性与最大值最小值定理

在这里插入图片描述

10.2 零点定理与介值定理

10.2.1 零点定理

在这里插入图片描述

10.2.2 介值定理

在这里插入图片描述

10.3 一致连续性

在这里插入图片描述

版权声明
本文为[司六米希]所创，转载请带上原文链接，感谢
https://blog.csdn.net/weixin_50927106/article/details/125542661

边栏推荐

猜你喜欢

随机推荐