利用or-tools来求解带容量限制的路径规划问题(CVRP)

之前我们解介绍了TSP、VRP问题，使大家对车辆路径规划问题有了初步的了解，今天我们对VRP问题进一步扩展，我们来探讨带容量限制的车辆路径规划问题：CVRP( capacitated vehicle routing problem)。CVRP是VRP的另一种应用，具体应用场景是这样的: 车辆具有承载能力，每辆车在有限的承载能力的情况下需要在不同地点取货或送货。货物具有数量，重量或体积，并且车辆具有它们可以承载的最大容量上限。我们要做的是以最低的成本提货或送货，同时不能超过车辆的容量上限。下面我们来讲一个具体例子，在讲这个例子之前我们先假设，所有地点的都有货物需要被提取，这里为了将问题简单化,我们只考虑提货不考虑送货(后续我们会考虑既提货也送货的情形)，也就是让每辆车到不同的地点去提货，但每次都不能超过车辆自身的容量限制。

CVRP例子

下面我们要举一个具有容量限制的 CVRP 示例。该例在之前的 VRP 例子的基础上进行了扩展:

在每个地点都有一个货物需要提取，并且每个地点的货物都有自己的容量(体积或重量等)。此外，每辆车的最大容量为 15。（这里为了计算简单化,我们不指定容量的单位。）

下面的网格中蓝色圈表示需要访问的地点，中间的黑色圈显示物流公司所在的地点。每个地点需要被提取的货物的容量显示在圆圈的右下方。 

我们的要求是为每辆车分配这些地点的访问路线,并且让所有车辆行程的总路程最短,并且每辆车提取的货物不能超过自身的容量限制，所有货物必须被提取。

使用 OR-Tools 解决 CVRP 问题

创建数据模型

首先，根据以上数据示例创建数据模型，数据模型中包含了：

• 距离矩阵（distance_matrix）
• 车辆数量(num_vehicles)
• 出发点索引(depot)
• 每个地点的货物容量需求(demands)
• 每辆车的容量上限(vehicle_capacities)

from ortools.constraint_solver import routing_enums_pb2
from ortools.constraint_solver import pywrapcp

def create_data_model():
    """Stores the data for the problem."""
    data = {}
    data['distance_matrix'] = [
        [
            0, 548, 776, 696, 582, 274, 502, 194, 308, 194, 536, 502, 388, 354,
            468, 776, 662
        ],
        [
            548, 0, 684, 308, 194, 502, 730, 354, 696, 742, 1084, 594, 480, 674,
            1016, 868, 1210
        ],
        [
            776, 684, 0, 992, 878, 502, 274, 810, 468, 742, 400, 1278, 1164,
            1130, 788, 1552, 754
        ],
        [
            696, 308, 992, 0, 114, 650, 878, 502, 844, 890, 1232, 514, 628, 822,
            1164, 560, 1358
        ],
        [
            582, 194, 878, 114, 0, 536, 764, 388, 730, 776, 1118, 400, 514, 708,
            1050, 674, 1244
        ],
        [
            274, 502, 502, 650, 536, 0, 228, 308, 194, 240, 582, 776, 662, 628,
            514, 1050, 708
        ],
        [
            502, 730, 274, 878, 764, 228, 0, 536, 194, 468, 354, 1004, 890, 856,
            514, 1278, 480
        ],
        [
            194, 354, 810, 502, 388, 308, 536, 0, 342, 388, 730, 468, 354, 320,
            662, 742, 856
        ],
        [
            308, 696, 468, 844, 730, 194, 194, 342, 0, 274, 388, 810, 696, 662,
            320, 1084, 514
        ],
        [
            194, 742, 742, 890, 776, 240, 468, 388, 274, 0, 342, 536, 422, 388,
            274, 810, 468
        ],
        [
            536, 1084, 400, 1232, 1118, 582, 354, 730, 388, 342, 0, 878, 764,
            730, 388, 1152, 354
        ],
        [
            502, 594, 1278, 514, 400, 776, 1004, 468, 810, 536, 878, 0, 114,
            308, 650, 274, 844
        ],
        [
            388, 480, 1164, 628, 514, 662, 890, 354, 696, 422, 764, 114, 0, 194,
            536, 388, 730
        ],
        [
            354, 674, 1130, 822, 708, 628, 856, 320, 662, 388, 730, 308, 194, 0,
            342, 422, 536
        ],
        [
            468, 1016, 788, 1164, 1050, 514, 514, 662, 320, 274, 388, 650, 536,
            342, 0, 764, 194
        ],
        [
            776, 868, 1552, 560, 674, 1050, 1278, 742, 1084, 810, 1152, 274,
            388, 422, 764, 0, 798
        ],
        [
            662, 1210, 754, 1358, 1244, 708, 480, 856, 514, 468, 354, 844, 730,
            536, 194, 798, 0
        ],
    ]
    data['num_vehicles'] = 4 #车辆数量
    data['depot'] = 0 #出发点索引
    data['demands'] = [0, 1, 1, 2, 4, 2, 4, 8, 8, 1, 2, 1, 2, 4, 4, 8, 8] #每个地点的需求量
    data['vehicle_capacities'] = [15, 15, 15, 15]#每辆车的容量
    return data

data = create_data_model()

这里我们假设有4辆车，每辆车的容量都是15，总共17个地点需要访问(包含出发点), 每个地点都有不同容量的货物需要提取。

创建路由模型

以下代码在程序的主要部分创建了索引管理器(manager)和路由模型(routing)。 manager主要根据distance_matrix来管理各个地点的索引，而routing用来计算和存储访问路径。

manager = pywrapcp.RoutingIndexManager(len(data['distance_matrix']),data['num_vehicles'], data['depot'])

routing = pywrapcp.RoutingModel(manager)

创建距离回调函数

这里我们定义了一个距离回调函数用来从返回distance_matrix中返回给定的两个地点之间的距离，接下来我们还要设置旅行成本(routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles)它将告诉求解器如何计算任意两个地点的访问成本, 这里我们的成本指的是任意两个地点之间的距离。

def distance_callback(from_index, to_index):
        """Returns the distance between the two nodes."""
        # Convert from routing variable Index to distance matrix NodeIndex.
        from_node = manager.IndexToNode(from_index)
        to_node = manager.IndexToNode(to_index)
        return data['distance_matrix'][from_node][to_node]

transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(distance_callback)
routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index)

添加容量需求回调和容量约束

除了距离回调之外，求解器还需要一个容量需求回调，它返回每个位置的需求，以及容量约束的维度。

def demand_callback(from_index):
    from_node = manager.IndexToNode(from_index)
    return data['demands'][from_node]
    

demand_callback_index = routing.RegisterUnaryTransitCallback(demand_callback)
routing.AddDimensionWithVehicleCapacity(
    demand_callback_index, # callback_index
    0,  # slack_max
    data['vehicle_capacities'],  # capacity
    True,  # fix_start_cumulative_to_zero
    'Capacity' #维度名称)

AddDimension方法的参数说明：

• callback_index：返回两个地点之间距离的回调的索引。索引是求解器对回调的内部引用，由 RegisterTransitCallback 或 RegisterUnitaryTransitCallback 等方法创建。
• slack_max：slack 的最大值，一个变量，用于表示位置的等待时间。如果问题不涉及等待时间，通常可以将 slack_max 设置为 0。
• capacity：容量，沿每条路线累积的总数量的最大值。使用容量来创建类似于 CVRP 中的约束。如果我们的问题没有这样的约束，可以将capacity设置为一个足够大的值，以便对路由没有限制—例如，用于定义回调的矩阵或数组的所有条目的总和。
• fix_start_cumulative_to_zero：布尔值。如果为 true，则数量的累计值从 0 开始。在大多数情况下，应将其设置为 True。但是，对于VRPTW或资源限制问题，由于时间窗口限制，某些车辆可能必须在时间0之后启动，因此您应该针对这些问题将fix_start_cumulative_to_zero设置为False。
• 维度名称：维度名称的字符串，例如“距离”，您可以使用它来访问程序中其他地方的变量。 

设置搜索策略

类似于之前TSP应用中的设置，这里我们也需要设置 first_solution_strategy：PATH_CHEAPEST_ARC, 这里第一解决方案策略设置为PATH_CHEAPEST_ARC，它通过重复添加不会导致先前访问过的节点（出发点除外）的权重最小的边为求解器创建初始路径，该策略可以快速得到一个可行解。

search_parameters = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters()
search_parameters.first_solution_strategy = (routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC)

#search_parameters.local_search_metaheuristic = (routing_enums_pb2.LocalSearchMetaheuristic.GUIDED_LOCAL_SEARCH)
#search_parameters.time_limit.FromSeconds(30)

后面我们尝试使用更高级的搜索策略(代码中暂时被注释掉的部分)：LocalSearchMetaheuristic.GUIDED_LOCAL_SEARCH，改策略被称为:引导局部搜索,它能使求解器能够避开局部最小值后继续搜索，但最终的结果不一定是全局最优解。

注意: 使用 GUIDED_LOCAL_SEARCH 或其他元启发式算法时，需要为求解器设置搜索时间限制——否则求解器不会终止。 可以将时间限制设置为 30 秒。

添加打印访问路径函数

该函数可以打印每辆车的路线，以及其累积负载：车辆在其路线上停靠时的总容量。

def print_solution(data, manager, routing, solution):
    """Prints solution on console."""
    print(f'Objective: {solution.ObjectiveValue()}')
    total_distance = 0
    total_load = 0
    for vehicle_id in range(data['num_vehicles']):
        index = routing.Start(vehicle_id)
        plan_output = 'Route for vehicle {}:\n'.format(vehicle_id)
        route_distance = 0
        route_load = 0
        while not routing.IsEnd(index):
            node_index = manager.IndexToNode(index)
            route_load += data['demands'][node_index]
            plan_output += ' {0} Load({1}) -> '.format(node_index, route_load)
            previous_index = index
            index = solution.Value(routing.NextVar(index))
            route_distance += routing.GetArcCostForVehicle(
                previous_index, index, vehicle_id)
        plan_output += ' {0} Load({1})\n'.format(manager.IndexToNode(index),
                                                 route_load)
        plan_output += 'Distance of the route: {}m\n'.format(route_distance)
        plan_output += 'Load of the route: {}\n'.format(route_load)
        print(plan_output)
        total_distance += route_distance
        total_load += route_load
    print('Total distance of all routes: {}m'.format(total_distance))
    print('Total load of all routes: {}'.format(total_load))

问题求解

solution = routing.SolveWithParameters(search_parameters)

if solution:
    print_solution(data, manager, routing, solution)

 这个方案看上去不太理想，因为 vehicle 0和 vehicle 1都绕了两个大圈子,并且它们的行驶路线都超过了2000。

下面是我们把搜索策略切换到GUIDED_LOCAL_SEARCH后的输出结果：

 通过切换搜索策略，最短路径由原来的6872减少到6208，并且每辆车的访问路线更加合理，没有出现绕大圈子的情况,而且每辆车的行驶路径的长度都在2000以前,同为1552。

小结 

1.在CVRP的应用场景中,数据模型需要增加每个地点的货物容量需求:demands 和 每辆车的容量上限:vehicle_capacities。

2.需要添加容量需求回调函数和容量约束。

3.通过切换搜索策略,可以得到一个较为满意的解。