一道题目初探组合数学与DP关系，可重集组合公式推导

4002. 构造数组 (揭示了DP的本质是组合数学)

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现在需要构造一对数组 $(a,b)$，要求：

• 数组 $a$ 和数组 $b$ 的长度都为 $m$。
• 两个数组中的元素的取值范围都是 $[1,n]$。
• $\forall i\in [1,m]$，$ai\le bi$。
• 数组 $a$ 中元素非严格单调递增。
• 数组 $b$ 中元素非严格单调递减。

请问，共能构造出多少对满足条件的数组？

输出对 $10^9+7$ 取模后的结果。

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乍一看条件非常的多，感觉很难。

方法：数形结合，乘法原理（分步骤考虑）

只要在纸上随便画下 $a$ 和 $b$ 就能发现问题可以转化成：

1. 从 $n$ 个数中（每个数可以重复选）选 $2\ast m$ 个数，对这些数排列，大的一半给$b$ ，另一半给 $a$ 。
2. 分析 $a$ 中的 $m$ 个数，有多少种分配方案？

解答 2 ：发现给定的 $m$ 个数确定之后，方案是唯一的。

所以问题等价于 1 的方案数（经典可重集组合问题），答案是 $C(2m+n-1,n-1)$

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数学推导：（思路，已知 $C(n,m)$ 表示从 $n$ 个不同的数中取 $m$ 个的方案数）。

以下为数学中的模板思维套路：

1. 设 $x_i$ 表示第 $i$ 个数取多少数。有 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i=2\ast m,x_i\ge 0$
2. 设 $x_i^{\prime }=x_i+1$ 有 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i=2\ast m+n,x_i>0$
3. 问题转化为给定 $2\ast m+n$ 个小球，用 $n-1$ 个隔板将所有小球分成 $n$ 部分，每部分小球的数量必须 大于$0$ 。因为 $x_i>0$ ，所以隔板有 $2\ast m+n-1$ 个位置，又因为每个隔板要不同，所以可以用 $C(2m+n-1,n-1)$ 表示。得证。

一个小TRICK $C(2m+n-1,n-1)$ = $C(2m+n-1,2m)$ 哪个数据范围小用哪个

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组合数怎么求？$C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)$ 这不就是 0/1背包的推导方式吗？

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所以：$C(2m+n-1,n-1)$ 可以用 $0/1$ 背包。$2m+n-1$ 是背包的体积，每个元素的体积是 $1$ 。

原来 DP 可以求方案数是因为 DP 的底层逻辑是组合数学，组合数学中的乘法原理加法原理可以求方案数。

那么一个明显的思路，可重集求方案数是不是可以直接用完全背包呢？答案是显然的！

以下给出两种背包求同一问题的代码。

0/1背包
f[0]=1;
for(int i=1;i<=2*m+n-1;i++){
    
    for(int j=2*m;j>=1;j--){
    
        f[j]= ((f[j] + f[j-1]) + M )%M;
    }
}
cout<<f[2*m]<<endl;

完全背包
f[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
    
    for(int j=1;j<=2*m;j++){
    
        f[j]= ((f[j] + f[j-1]) + M )%M;
    }
}
cout<<f[2*m]<<endl;