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【B站UP DR_CAN学习笔记】Kalman滤波1

2022-06-27 04:08:00 【明天已在HiaHia】

最优化递归数字处理算法

当我们在描述一个系统时，不确定性主要体现在三个方面：

（1）不存在完美的数学模型

（2）系统的扰动不可控，也很难建模

（3）测量传感器存在误差

估计真实结果，最自然的方法是多次测量取平均值。

$\hat{x}_k= \frac{1}{k}(z_1+z_2+...+z_k))$

$\hat{x}_k= \frac{1}{k} (z_1+z_2+...+z_{k-1})+\frac{1}{k}z_k$

$\hat{x}_k= \frac{k-1}{k} {\color{Red} \frac{1}{k-1} (z_1+z_2+...+z_{k-1})}+\frac{1}{k}z_k$

$\hat{x}_k = \frac{k-1}{k} \hat{x}_{k-1} +\frac{1}{k}z_k$

$\hat{x}_k = \hat{x}_{k-1} + {\color{Red} \frac{1}{k}}(z_k-\hat{x}_{k-1})$

综述，当 $k\rightarrow \infty$ 时， $\frac{1}{k}\rightarrow 0$ ， $\hat{x}_k \rightarrow \hat{x}_{k-1}$ ，再多的测量已不再重要。

另 $K_k=\frac{1}{k}$ ，则

$\hat{x}_k = \hat{x}_{k-1} + {\color{Red} K_k}(z_k-\hat{x}_{k-1})$

即当前的估计值=上一次的估计值+系数×（当前的测量值-上一次的估计值）

${\color{Red} K_k}$ 即为卡尔曼增益。

小结：只需要当前的测量值和上一次的估计值，不需要更早的数据。

如果假设估计误差为 $e_{EST}$ ，测量误差为 $e_{MEA}$ ，则

$K_k=\frac{{e_{EST}}_{k-1}}{{e_{EST}}_{k-1}+{e_{MEA}}_k}$

当估计误差远大于测量误差时，卡尔曼增益为1，估计值为测量值；

当测量误差远大于估计过程时，卡尔曼增益为0，估计值为估计值。

方法分为三步：

步骤（1）计算卡尔曼增益

${\color{Red} K_k}=\frac{{e_{EST}}_{k-1}}{{e_{EST}}_{k-1}+{e_{MEA}}_k}$

步骤（2）更新估计值

$\hat{x}_k = \hat{x}_{k-1} + {\color{Red} K_k}(z_k-\hat{x}_{k-1})$

步骤（3）更新估计误差

${e_{EST}}_k={\color{Red} (1-K_k)}{e_{EST}}_{k-1}$

小结：测量值的误差是固定的，估计值的误差是根据测量误差逐步迭代更新的。

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