动态规划背包问题之多重背包详解

背包问题前几篇文章：

1. 01背包详解
2. 完全背包详解
   

一、什么是多重背包问题？

有n种物品，每种物品的单件体积为v[i]，价值为w[i]。现有一个容量为V的背包，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。其中每种物品有s[i]件。
多重背包和完全背包、01背包区别：

1. 01背包在选择某一个物品时只有不选和选一次两种情况
2. 完全背包在选择某一个物品时可以不选，也可以选一次，选两次。。。选择次数没有上限（只要背包能放下）
3. 多重背包在选择某一个物品时可以不选，可以选一次、二次。。。最多只能选s[i]次（只要背包能放下）

二、例题分析

1. 题目：

原题测试样例不容易看出规律，因此使用其他的测试样例：
输入样例：
3 7qu
2 3 12
2 5 15
1 2 3
输出样例：
12

2.第一种：朴素做法

01背包：第i件物品可以取0件，可以取1件
多重背包：第i件物品可以取0件，取1件、取2件······取s[i]件
多重背包转化为01背包求解：把第i件物品换成s[i]件01背包中的物品，每件物品的体积为k* v[i]，价值为k * w [i] (0<=k<=s[i])
核心代码：

for(i=1;i<=n;i++)
	for(j=m;j>=v[i];j--)
		for(k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
			f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);

3.第二种：二进制优化

样例可以表示为：

二进制优化核心代码：

    int cnt=0;//计数器
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;
        int k=1;
        //二进制拆分
        while(k<=s)
        {
    
            cnt++;
            v[cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;
            s-=k;
            k*=2;
        }
        if(s>0)//剩余
        {
    
            cnt++;
            v[cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
        }
    }

拆分完之后就变成了：

优化完之后在用一次01背包：

    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[m]<<endl;

4.第二种：单调队列优化<待写>