[LeetCode]动态规划解拆分整数I[Silver Fox]

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定义状态

$dp[i]$表示将$i$拆分成至少2个正整数的和后，这些整数乘起来后得到的乘积

转移方程

先从一般情况来思考：

• $dp[0]$没有什么意义，因为下标从0开始，才出现这个值，设置其为0

• $dp[1]$ 1不可以再次被拆分为更小的正整数，设置其为0

• $dp[2]$，2刚好只有一种拆法，拆成两个1，$dp[2]$=1*1=1

• …

• $dp[i]$,思考$dp[i]$，可以想象在其范围内，我们先已经拆出来一个$j$,从$[1...j]$作为一个整体1，见下图情景1，剩下的部分也就是$[j+1....i]$,可以有两种选择

  • 继续当成一个整体，为整体2，其值为$i-j$, 显然$dp[i]$=$j$X$(i-j)$
  • 继续拆分，但是我们也不知道能拆分成多少份，但是我们不管，拆分的结果就是$dp[i-j]$（再读一遍状态的定义），见下图情景2，$dp[i]$=$j$X$dp[i-j]$
  • 因此 $dp[i]$=$j$X$max(i-j,dp[i-j])$

• $dp[n]$，要返回的值

边界

上面已经讨论过了

完整代码

    public int integerBreak(int n) {
    
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
            for (int j = 1; j < i; j++) {
    
                dp[i] = Math.max(dp[i], j * Math.max(i - j, dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }