MBA-day23 至多至少问题-练习题

1. 思路点拨

在分析某对象至少（至多）时，可转化为其余部分最多（最少）来分析

• 1 每个对象至多至少
• 2 求整体至多至少
• 3 求个体至多至少
  

2. 例题

2.1 例题 1（错题）

某班共有 40 人，其中喜欢打乒乓球、篮球、排球的学生分别为 35， 33， 32 人，求这三项运动都喜欢的学生至少有（）人

答： 20

由其中喜欢打乒乓球、篮球、排球的学生分别为 35， 33， 32 人
得：不喜欢打乒乓球、篮球、排球的学生分别为 5， 7， 8 人
->至少有一项运动不喜欢的人数至多：5+7+8 =20 
->三项运动都喜欢的学生至少有 40 - 20 = 20

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解：（没解出来）
喜欢乒乓球=只喜欢乒乓球+喜欢乒乓球和篮球+喜欢乒乓球和排球 + 喜欢乒乓球、篮球和排球 = 35
喜欢篮球=只喜欢篮球+喜欢乒乓球和篮球+喜欢篮球和排球 + 喜欢乒乓球、篮球和排球 = 33
喜欢排球=只喜欢排球+喜欢排球和篮球+喜欢乒乓球和排球 + 喜欢乒乓球、篮球和排球 = 32

即 喜欢1种 + 喜欢2种 + 喜欢3种，要想喜欢3种最少，则喜欢1种和2种人数,都不喜欢应该最多。
3*喜欢1种 + 6*喜欢2种 + 3 * 喜欢3种 = 35 + 33 + 32 = 100 人

设喜欢1种、2种、3种人数,都不喜欢分别为a, b, c, d -> c 至少， a + b + d 至多
3a + 6b + 3c = 100
a + b + c + d = 40 -> 3a + 3b + 3c + 3d = 120 -> 3a + 6b + 3c - 3b + 3d = 120
->
100  - 3b + 3d = 120 -> 3d - 3b = 20 -> 3(d-b) = 20 由于bd为整数，故该明显不成立
bd:肯定同为偶数或奇数
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

2.2 例题 2（错题）

共有 100 人参加某公司的招聘考试，考试内容共有 5 道题。1至5道题分别有80, 92, 86, 78, 74 答对，答对了3道题和3道题以上的人员能通过考试，那么至少（）人能通过考试。

答：至少（70）人能通过考试

参考答案思路
解：
总共做对：80+92+86+78+74 = 410
如果全做对是：500 题
-> 那么有 500 - 410 = 90 题没有做对

如果不通过的人数最多，那就是每个人错3道，至多 90/3 = 30 人没通过。
-> 至少 100 - 30 = 70 人通过


错误思路
解：
1至5道题分别有80, 92, 86, 78, 74 答对
1至5道题分别有20, 08, 14, 22, 26 没答对
至多4,5题答错最多：22， 26，去除重复人员，即最大26人，则至少（100-26=74）人能通过考试

2.3 例题 3

5 名选手在一次数学竞赛中共得 404 分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得分 90 分，那么得分最少的选手至少得分（）分

答： 50

选手：甲 < 乙（87） < 丙（88） < 丁（89）< 戊 （90）
得分最少的选手至少得分（404-90-89-88-87 = 50）分

2.4 例题 4

某知识竞赛共有 50 道题，每答对一道题得3分，答错或不答倒扣1分，如果某选手至少要得到 90 分，那么他至少需要答对多少题？

答：他至少需要答对35题

解：
设答对x道，答错50-x
3x + (50-x)*-1 >= 90
3x - 50 + x >= 90
4x >= 140
x >= 35

2.5 例题 5（错题）

5 位同学参加百分制考试的平均成绩是91分，他们的成绩是互不相等的整数。那么按分数从高到低居第三位额同时至少为89分
1）最高分 96 分
2）最低分 87 分

答：条件1充分，条件2充分

解：
1）最高分 96 分
5 位同学参加百分制考试的平均成绩是91分， -> 总分数：455
甲 < 乙 < 丙 < 丁< 戊 （96），推甲最低分
要想第三名最少，其他人应该尽量高，即丁=95，设第三名并x
甲(x-2) < 乙(x-1)  < 丙(x) < 丁（95）< 戊 （96）
-> x = 89 即条件1充分
甲(87) < 乙(88)  < 丙(89) < 丁（95）< 戊 （96）

2）最低分 87 分
同条件1，即条件为充分