【機器學習】基於多元時間序列對高考預測分析案例

本文借助 ARIMA模型，通過對中國的往年高考錄取率進行建模和預測，並驗證和檢驗模型精度和可行性，來應用模型來估計未來的錄取率，進一步得出2030年中國高考錄取率的預測值。

本文系讀者投稿 

作者簡介：理智，河北科技大學的大三學生，主攻深度學習。和大多數程序員一樣，他是個樂觀主義者，大量的時間都在調試代碼，在調試中滿懷希望，克服遇到的無數挫折。

01 數據來源

本文采用的數據來自世界銀行官網（https://data.worldbank.org.cn/）的中國宏觀經濟數據集，現行版本的數據集共 45行12列，提供自1959年至2021年中國大陸12個指標每年的比特置和數值。數據集格式采用國際通用慣例，每年的記錄包含數值記錄和比率記錄，記錄包含了時間(世界時)、人口(萬人)、金額(億美元)、比例等指標，數據集的結構如錶1所示，圖1畫出了中國1949至2021年間的5個指標關系密切程度的熱力圖。

錶 1 世界銀行數據列錶 （️滑動查看更多）

出生年	高考年	新生兒人口（單比特：萬人）	大學招生擴招政策，布爾變量，0錶示無，1錶示是	出生年GDP（億美元）	高考年GDP（億美元）	高考年GDP占世界比例(%)	參加高考人數（單比特：萬人）	高考錄取人數（單比特：萬人）	高考錄取率	高等教育毛入學率	參加高考人數同比增長
1959	1977	1635	0	550	1749.4	2.39	570	27	4.74	1.65	NaN
1960	1978	1402	0	597.2	1495.4	1.73	610	40.2	6.59	2.87	0.07
1961	1979	949	0	500.6	1782.8	2.23	468	28	5.98	2.95	-0.233
1962	1980	2451	0	472.1	1911.5	2.12	333	28	8.41	1.14	-0.288
1963	1981	2934	0	507.1	1958.7	1.67	259	28	10.81	0.95	-0.222

圖1 相關性熱力圖

02 統計分析

在1959年~2020年的61年間，新生兒數量有較大波動，1987年後新生兒數量呈單調遞减趨勢，且2016年後下降最為明顯。

年GDP方面，呈上昇趨勢，1993年後變化較為明顯。

整體上新生兒數量與出生年GDP無較為明顯的關系，但存在部分區間負相關關系（1987年後）。

圖2 人口趨勢圖

高考錄取率與當年GDP如圖3。兩者均整體呈上昇趨勢，初步判斷兩者之間存在正相關關系。

圖3 高考年錄取率與GDP圖

高考參加人數及與之相關的情况：參加高考的人數逐年增加，但是參加高考的人數的年同比增長變化波動大，無明顯特征，如圖4。

圖4 高考錄取人數詳情圖

觀察高等教育毛入學率及當年GDP全球占比可知如圖5。

圖5 中國教育毛入學率與GDP占比動態圖

毛入學率與全球GDP占比呈上昇趨勢，初步判斷兩者間存在正相關關系。

03 時間序列預測高考錄取率

在此處，我們應用ARIMA模型進行高考錄取率預測。這裏ARIMA模型可以點擊查看詳情終於把時間序列預測ARIMA模型講明白了。

在應用ARIMA模型時需要先對觀測序列進行平穩性以及白噪聲檢驗，只有平穩非白噪聲序列才具有觀測價值，詳細流程有：

 3.1  
 目標數據的原始數據序列時序圖及自相關圖

import matplotlib.pyplot as plt
# 確定目標數據
tag = data['高考錄取率']
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
fig = plt.figure(figsize=(12,4))
ax1 = fig.add_subplot(121)
tag.plot()
plt.title('Sequence diagram')
ax2 = fig.add_subplot(122)
plot_acf(tag,ax=ax2) # 自相關圖
plt.show()

觀察時序圖可知：

由於該序列有明顯的單調遞增趨勢，初步判斷其為非平穩序列，且自相關圖顯示自相關系數長期大於0，說明序列間有很强的長期相關性。

結合上述流程，需要先對該序列進行平穩性檢驗。

 3.2 ADF檢驗（單比特根檢驗）

# 平穩性檢測
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF
ADF(tag)

(-0.5482617125015317,
 0.882249553115714,
 0,
 44,
 {'1%': -3.5885733964124715,
  '5%': -2.929885661157025,
  '10%': -2.6031845661157025},
 203.98252176030874)

觀察結果，P值為0.882249553115714，顯著大於0.05。

最終將該序列判斷為非平穩序列。

由於最終判斷該序列為非平穩序列，因此需要對其進行差分處理。

 3.3 差分處理

tag_diff = tag.diff().dropna()
tag_diff.plot()
plt.title('First order sequence diagram')
plt.show()

從上圖可以看出，一階差分後的數據增减趨勢較為平穩。但是依據最優化及准確性原則，需要再進行二階差分處理。

## 二階
tag_diff2 = tag_diff.diff().dropna()
tag_diff2.plot()
plt.title('Second order sequence diagram')
plt.show()

理論上說，多階的差分可以更好的剔除序列中的不確定因素，

但是差分的同時也會使得原序列損失一定的數據，所以差分的階數應該適當。

在本文中，二階差分過後，序列趨勢較為平穩，接下來對二階差分後的序列進行自相關及偏自相關圖的繪制分析。

# 偏自相關
fig = plt.figure(figsize=(12,4))
ax1 = fig.add_subplot(121)
plot_acf(tag_diff,ax=ax1)
ax2 = fig.add_subplot(122)
plot_pacf(tag_diff,ax=ax2)
plt.show()

ADF(tag_diff2)

(-7.7836768644929695,
 8.2881029271227e-12,
 1,
 41,
 {'1%': -3.60098336718852,
  '5%': -2.9351348158036012,
  '10%': -2.6059629803688282},
 202.9415785772855)

觀察兩圖結果，

結果顯示，二階差分之後序列的自相關圖有較强的短期相關性，且 ADF 檢驗中 p值為 8.2881029271227e-12，顯著小於0.05，所以二階差分後的序列是平穩序列。

結合流程圖，平穩性檢驗後進行白噪聲檢驗。對於白噪聲相關內容可參見：時間序列預測中如何檢測隨機遊走和白噪聲

 3.4 白噪聲檢驗

檢驗結果如下

# 白噪聲檢驗
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
acorr_ljungbox(tag_diff2,lags=[6,12,24])

(array([14.16785, 16.24145, 22.69118]),
 array([0.02781, 0.18042, 0.53808]))

lbvalue: QLB檢驗統計量
pvalue: QLB檢驗統計量下對應的P值

此時查看P值，也就是第二行數據（各列分別為延遲6、12、24階時的檢驗結果）：

當 lags=6 時，也就是延遲 6階時 P值為 0.02781636 < 0.05，此時可判斷該序列為非白噪聲序列，具有觀測價值。

 3.5 應用ARIMA模型

from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
# 一般階數不超過length/10
pmax = int(len(tag_diff)/10)
qmax = int(len(tag_diff)/10)
bic_matrix = []

for p in range(pmax+1):
   tmp = []

for q in range(qmax+1):
   try:
       tmp.append(ARIMA(tag, (p,1,q)).fit().bic)
   except:
       tmp.append(None)
   bic_matrix.append(tmp)
bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix)
p,q = bic_matrix.stack().idxmin()  ## 得到最小p、q值
## 由於對原視數據進行了二階差分，所以此處的d值為 2
model = ARIMA(tag, (p,2,q)).fit() 
model.summary2()

 預測2030年的高考錄取率

print('預測2030年的高考錄取率為 ' + 
      str(model.forecast(9)[0][-1]) + '%')

預測2030年的高考錄取率為 95.79511627906977%

print('預測2030年的高考錄取率為 ' + 
      str(model.forecast(9)[0][-1]) + '%')

預測2050年的高考錄取率為 98.79511627906977%

04 結論

ARIMA是一種非常流行的時間序列統計方法，它是差分整合移動平均自回歸模型，分別是自回歸（AR）項指的是差分序列的滯後，移動平均（MA）項是指誤差的滯後，而I是用於使時間序列平穩的差分數，描述了數據點的相關性，並考慮數值之間的差异。

本文借助ARIMA模型，通過對中國的往年高考錄取率進行建模和預測，並驗證和檢驗模型精度和可行性，來應用模型來估計未來的錄取率，進一步得出了2030年中國高考錄取率的預測值為 95.795%。（僅供學習參考）

采用差分整合移動平均自回歸模型挖掘影響高考錄取率的關鍵因素，然而差分整合移動平均自回歸模型需要各指標與高考的相關關系，故可采用相關系數R的性質，得出各指標的相關性，建立ARIMA模型需要先對觀測序列進行平穩性以及白噪聲檢驗，只有平穩非白噪聲序列才具有觀測價值，最終預測高考錄取率。

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